看《实用极值统计方法》-----史道济所得。

前言

上一节中，我们讨论了通过观测超过阈值的观测值，并用超阈值分布或超出量分布函数来描述，以充分利用观测值数列中的信息。但是，在一般情况下，观测值序列的底分布我们并不知道。于是，我们就要考虑它们的极限分布，就像GEV分布描述最大值的极限分布一样，我们也希望能够找到超出量的极限分布。

一、广义Pareto分布

定义：如果随机变量X的分布函数为

则称X服从广义Pareto分布，简记为GPD或GP分布。其中是位置参数，为尺度参数，为形状参数。

另一种表示方法：

ParetoⅠ型分布：

ParetoⅡ型分布：

ParetoⅢ型分布：

当时，称为标准GPD。可以看出，当时，有。可见，广义极值分布和广义Pareto分布之间有着非常密切的关系。当时，分布函数有重要作用，称为二参的广义Pareto分布，简记为。

不难求出，其密度函数为：

另一种表示方法：

二、广义Pareto分布的性质

同极值分布一样，根据Gamma函数的性质，可以很方便地求出广义Pareto分布地数字特征。这里，只给出二参广义Pareto分布的数字特征。

性质：设随机变量X服从广义Pareto分布，则当时，

，其中F(x)为Gamma函数。

定义：对于给定的分布函数，如果存在常数，使得对任何实数，都有

其中是超出量分布函数，则称分布函数具有POT稳定性，或称分布函数是POT稳定分布。

性质：广义Pareto是POT稳定分布。

性质：广义Pareto分布的超出量分布函数仍然是GP分布，且形状参数不变。

定义：设随机变量X的分布函数为，为支撑的上端点，X超过阈值的超出量分布为，如果存在广义Pareto分布，使得

则称X（或分布函数)属于广义Pareto分布的POT吸引场。

性质：广义极值分布属于广义Pareto分布的POT吸引场。

性质：广义Pareto分布属于广义极值分布的最大值吸引场。

定理：设为独立同分布随机变量，分布函数为。令，如果存在规范化数列，使得对足够大的n，有

其中是广义极值分布，则对于足够大的阈值，在的条件下，的分布近似于GP分布

其中。

性质：GP分布的平均超出量函数为

。

定义：设随机变量X的分布函数为，对应的密度函数为，是支撑的上端点，对于给定的称

为随机变量X（或分布F）的危险率函数。