对角矩阵

scipy中的函数

在scipy.linalg中，通过tri(N, M=None, k=0, dtype=None)可生成$N\times M$对角矩阵，若M=None，则$M$默认为$N$。k表示矩阵中用1填充的次对角线个数。

print(tri(3,5,2,dtype=int))
'''
[[1 1 1 0 0]
 [1 1 1 1 0]
 [1 1 1 1 1]]
'''

在numpy中也提供了多种对角矩阵生成函数，包括diag, diagflat, tri, tril, triu等，

numpy.diagflat

diagflat用于生成对角矩阵，diag在diagflat基础上，添加了提取对角元素的功能，例如

>>> np.diagflat([1,2,3])
array([[1, 0, 0],
       [0, 2, 0],
       [0, 0, 3]])
>>> np.diag([1,2,3])
array([[1, 0, 0],
       [0, 2, 0],
       [0, 0, 3]])
>>> np.diag(np.ones([3,3])) #提取对角元素
array([1., 1., 1.])

numpy.tri

tri(M,N,k)用于生成M行N列的三角阵，其元素为0或者1，k用于调节0和1的分界线相对于对角线的位置，例如

>>> np.tri(3,5,1)
array([[1., 1., 0., 0., 0.],
       [1., 1., 1., 0., 0.],
       [1., 1., 1., 1., 0.]])
>>> np.tri(3,5,2)
array([[1., 1., 1., 0., 0.],
       [1., 1., 1., 1., 0.],
       [1., 1., 1., 1., 1.]])
>>> np.tri(3,5,3)
array([[1., 1., 1., 1., 0.],
       [1., 1., 1., 1., 1.],
       [1., 1., 1., 1., 1.]])

tril, triu可用于提取出矩阵的左下和右上的三角阵，其输入参数除了待提取矩阵之外，另一个参数与tri中的k相同。

x = np.arange(12).reshape(4,3)
>>> np.tril(x,-1)
array([[ 0,  0,  0],
       [ 3,  0,  0],
       [ 6,  7,  0],
       [ 9, 10, 11]])
>>> np.triu(x,-1)
array([[ 0,  1,  2],
       [ 3,  4,  5],
       [ 0,  7,  8],
       [ 0,  0, 11]])

对角块矩阵

对于scipy.linalg.block_diag(A,B,C)而言，会生成如下形式矩阵

$$\begin{array}{ccc}A& 0& 0\\ 0& B& 0\\ 0& 0& C\end{array}$$

from scipy.linalg import *
import numpy as np
A = np.ones([2,2])
B = np.round(np.random.rand(3,3),2)
C = np.diag([1,2,3])
bd = block_diag(A,B,C)
print(bd)

其bd打印结果是一个矩阵

$$\left[\begin{array}{cccccccc}1.& 1.& 0.& 0.& 0.& 0.& 0.& 0.\\ 1.& 1.& 0.& 0.& 0.& 0.& 0.& 0.\\ 0.& 0.& 0.8& 0.38& 0.41& 0.& 0.& 0.\cdot \\ 0.& 0.& 0.84& 0.45& 0.24& 0.& 0.& 0.\cdot \\ 0.& 0.& 0.32& 0.22& 0.25& 0.& 0.& 0.\\ 0.& 0.& 0.& 0.& 0.& 1.& 0.& 0.\\ 0.& 0.& 0.& 0.& 0.& 0.& 2.& 0.\\ 0.& 0.& 0.& 0.& 0.& 0.& 0.& 3.\end{array}\right]$$

其中

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{ccc}0.8& 0.38& 0.41\\ 0.84& 0.45& 0.24\\ 0.32& 0.22& 0.25\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$$