计算机二进制乘法运算(原码，补码）

一.原码的一位乘法

1.乘法规则

• （1）乘积的符号位为：被乘数的符号位与乘数的符号位相异或
• （2）乘积的数值为被乘数的数值与乘数的数值之积，即：
  $$|Z|=|X\ast Y|=|X|\ast |Y|$$
• （3）乘积的原码为：$[Z{]}_{原}=[X\ast Y{]}_{原}=(x_0⨁y_0)(|X|\ast |Y|)$

2.算法描述

设置一个寄存器D，开始置0，运算中存放部分积的高位，最后存放数值乘积的高位。
用一个寄存器A，开始时存放乘数，运算中存放D右移后不参与运算的部分积的低位和乘数的未运算位，最后存放数值乘积的低位。寄存器B存放被乘数。

从乘数的最低为开始运算，若为1，则被乘数加到部分积D；若为0，则部分积加0.部分积和乘数联合右移1位。再次检测乘数的次低位，若为1，则被乘数加到部分积；若为0，则部分积加0。部分积和乘数联合右移1位。上述过程循环进行，直到乘数各位运算完毕。

3.运算过程

注意运算中在最高数值位前多设置了1位的目的是防止原码相加产生溢出。
如果产生溢出，溢出的位会被多设置的高1位先保存，然后通过下一次右移移动到数值位进行运算。以保证运算结果的正确性。

4.运算电路

原码一位乘法的运算电路框图如下：

二.补码的乘法运算——布斯（Booth）法

1.原理推导

2.运算法则

• 如果后项减前项为0，则部分积+0
• 如果后项减前项为1，则部分积+$[x{]}_{补}$
• 如果后项减前项为-1，则部分积+$[-x{]}_{补}$
  

布斯算法可描述如下：

• （1）乘数与被乘数均用补码表示，连同符号位一起参与运算
• （2）乘数最低位后增加一个附加位（用$A_{-1}$表示）,设定初始值为0.
• （3）从附加为开始，根据上面所述的操作完成运算

3.运算过程

注意在运算过程中设置了两个符号位，高1位的符号位设置的目的是防止补码运算产生的溢出。
假如数值位的运算产生进位，同时导致向符号位进位时，低1位的符号位改变为新数值为的最高位，而更高位的符号位依然可以保持原来符号位的值，再通过联合右移就可以防止溢出保证运算正常进行。

注意：对于小数运算，在最后一次循环中不做DA右移而将A的最低位置0，从而在DA中得到小数相乘运算的正确结果。

4.运算电路