Data envelopment analysis–BCC模型

模型

先写出BCC模型的公式，继而进行详述。

乘子型

线性模型

分式模型

包络型

基于输入向的模型

基于产出向的模型

BCC与CCR模型的区别

第一个不同便是生产可能集基于的假设不同。
CCR模型假设的规模报酬是不变的，而BCC模型则是可变规模报酬。这就会导致生产可能集的区别。

可以发现，唯一不同是𝑒𝜆=1，这是一个凸性条件。
接下来我们用一组简单数据，单输入单产出，将它们画在坐标轴上，可以画出前沿面。比如之前的CCR模型前沿面就是一条过原点的射线：

接下来看BCC的前沿面图，是将最外层的点包裹住：

第二个不同是计算效率时的不同：
在可视化图像中，单输入单输出：

此时，基于投入向的模型中:
BCC efficiency=PR/PD
CCR efficiency=PQ/PD
若是基于输出项的模型：
BCC efficiency=ST/DT
CCR efficiency=1/(PQ/PD)
这里应该要注意，CCR模型的两个效率互为倒数，但是BCC模型并不具有这个性质。

BCC与CCR模型值的比较

这个可以从两个模型的公式出发，其中BCC模型的公式可以写成：

而CCR模型与其只是多了𝑒𝜆=1这个条件，在线性规划中，多了一个限制条件，可行域会变少，又因为这里的目标函数是寻找最小值，那么就会更难取得最小值。因此：

BCC有效

只有当theta=1并且所有松弛为0，才有BCC有效。这点与CCR相一致。

BCC投影

投影的概念也就是把未达到有效的DMU给映射到前沿面上去。在BCC基于输入向的模型中：

至于上面的E0指的是参考集。并且，修改过的x ̂_0,y ̂_0是BCC有效的。

R代码

BCC模型与CCR模型比较相似，修改部分不多，只要把规模收益种类修改即可。

library(Benchmarking)
x=matrix(c(2,2,5,10,10,3,12,8,5,4,6,12),ncol=2)
y=matrix(rep(1,6),ncol=1)
te=dea.dual(x,y,RTS = "vrs")##BCC模型的生产可能集是可变规模报酬（variable returns to scale)
te$eff
te$u
te$v

library(Benchmarking)
x=matrix(c(2,2,5,10,10,3,12,8,5,4,6,12),ncol=2)
y=matrix(rep(1,6),ncol=1)
te1=dea(x,y,RTS = "vrs")##BCC模型的生产可能集是可变规模报酬（variable returns to scale)
te1$eff
te1$lambda