主成分分析（PCA）是一种多元统计方法，旨在通过线性变换选出较少的重要变量，从而有效地从复杂的数据中获取最重要的元素和结构，去除噪音和冗余，实现降维。PCA的主要步骤包括数据中心化、计算协方差矩阵、特征值分解以及选择主成分等。

PCA（Principal Component Analysis，主成分分析）的数学公式如下所示：

假设有一个包含 m 个样本和 n 个特征的数据集 X )，其中 X = [x_1, x_2, …, x_m] ，每个样本 x_i 是一个 n 维向量。

1. 计算样本的均值向量$\bar{x}$：
   $$\bar{x}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}_i$$

2. 将数据集进行中心化处理，即每个特征减去对应的均值：
   $$X_{\text{centered}}=X-\bar{x}$$

3. 计算数据集的协方差矩阵$\Sigma$：
   $$\Sigma =\frac{1}{m}{X}_{\text{centered}}^T{X}_{\text{centered}}$$

4. 对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$ 和对应的特征向量 $v_1,v_2,...,v_n$。

5. 选择前 k 个特征值对应的特征向量作为主成分，构成一个投影矩阵 $W$（每列是一个特征向量）。

6. 将数据集投影到由前 k 个特征向量构成的子空间中：
   $$X_{\text{reduced}}=X_{\text{centered}}W$$

其中，$X_{\text{reduced}}$ 是降维后的数据集。

这就是 PCA 的数学公式，它描述了 PCA 的主要步骤和数学原理。

2. 换个说法进行总结

在PCA的数学原理中，假设原始数据集为X，是一个n×m的矩阵，表示n个样本的m个特征。新的基向量为V，由前k个特征向量组成，是一个m×k的矩阵。降维后的数据集为Y，是一个n×k的矩阵。PCA的降维过程可以通过以下公式表示：

Y=XV

这个公式表示将原始数据集X通过新的基向量V进行线性变换，得到降维后的数据集Y。其中，Y的每个样本都是原始样本在新基向量空间中的坐标表示，而新基向量则是根据协方差矩阵的特征值和特征向量选择得到的，能够最好地表示原始数据的主要变化方向。

需要注意的是，PCA不是简单地从n维特征中去除其余n-k维特征，而是重新构造出全新的k维正交特征。这些新生成的k维数据尽可能多地包含原来n维数据的信息，从而实现了在降维的同时尽量保留原始数据的信息。

综上所述，PCA的数学公式是Y=XV，它表示了通过线性变换将原始高维数据映射到低维空间的过程，是PCA实现数据降维和特征提取的关键步骤。