一、 有序对

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有序对概念 :

< a , b > = { { a } , { a , b } } <a, b> = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \} <a,b>={{a},{a,b}}

其中 $a$ 是第一个元素 , $b$ 是第二个元素 ;

记做 $<a,b>$ , 也可以记做 $(a,b)$

理解 1 : $a,b$ 是有顺序的 , 单个元素的集合中的元素是第一个元素 , 两个元素集合中的另一个元素是第二个元素 ;

理解 2 ( 推荐 ) : 第一个元素出现在每个子集合中 , 第二个元素只出现在一个子集合中 , 通过这种方式 , 保证了有序对的定义 , 一前一后两个元素 , 前后顺序不同 , 对应的有序对不同 ;

下面是相同的两个元素的不同的有序对 :

有序对 < a , b > = { { a } , { a , b } } <a, b> = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \} <a,b>={{a},{a,b}}

有序对 < b , a > = { { b } , { a , b } } <b, a> = \{ \{ b \} , \{ a , b \} \} <b,a>={{b},{a,b}}

二、 有序对性质的引理、定理

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1. 引理 1 : { x , a } = { x , b } \{ x , a \} = \{ x, b \} {x,a}={x,b} $\iff$ $a=b$

两个集合如果相等 , 当且仅当 $a=b$ ;

2. 引理 2 : 若 $\mathcal{A}=\mathcal{B}\ne \varnothing$ , 则有

① $\bigcup \mathcal{A}=\bigcup \mathcal{B}$

② $\bigcap \mathcal{A}=\bigcap \mathcal{B}$

说明 : 集族 $\mathcal{A}$ 与 集族 $\mathcal{B}$ 相等 , 并且 两个集族都不为空 , 那么 两个集族的广义交相等 , 两个集族的广义并也相等 ;

3. 定理 : $<a,b>=<c,d>$ $\iff$ $a=c\wedge b=d$

通过上述定理 , 说明有序对是有顺序的 ;

4. 推论 : $a\ne b$ $\Rightarrow$ $<a,b>\ne <b,a>$

三、 有序三元组

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有序三元组 :

$$<a,b,c>=<<a,b>,c>$$

有序三元组是有序二元组在前 , 第三个元素在后 , 组成的有序对 ;

有序 $n$ 元祖 : $n\ge 2$

$$<a_1,a_2,\cdots ,a_n>=<<a_1,\cdots ,a_{n-1}>,a_n>$$

先拿前 $n-1$ 个元素组成一个有序 $n-1$ 元祖 , 该 $n-1$ 元祖在前 , 然后跟第 $n$ 个元素 $a_n$ 在后 , 构成有序对 ;

四、 有序 n 元组性质定理

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有序 $n$ 元组性质定理 :

$<a_1,a_2,\cdots ,a_n>=<b_1,b_2,\cdots ,b_n>$ $\iff$ $a_i=b_i,i=1,2,\cdots ,n$

说明 : 两个有序 $n$ 元祖 , 每个对应位置上的元素两两相同 , 两个 $n$ 元组有序对才相等 ;