本系列文章尽量以便于理解的方式讲解 Haar 小波的原理和应用。其中应用部分主要关注于 PRT 中使用的 double product integral 和 triple product integral 两部分。 主要参考文献为 Stollnitz et al. 的 Wavelets for Computer Graphics: A Primer 和 Ren Ng 的两篇 wavelet relighting 的经典文章。

1. 1D Haar

Haar 小波是最简单的小波基函数。

我们首先从一个一维的 Haar 小波分解的例子开始：

假设我们有一张一维的“图像”，它的分辨率是 1 x 4：

[8,4,1,3]

可以用如下方法，将这张图像用一维 Haar 小波系数表示：

（1）计算两两像素之间的均值

[8+42,1+32]=[6,2]

（2）计算两两像素之间的差值

[8−42,1−32]=[2,−1]

这样我们就对原来的图像进行了一次 Haar 分解。每经过一次分解，均值“图像”的分辨率就会减半。对每次产生的新的均值部分重复上面两个步骤，直到均值只剩下一个数，无法进一步分解：

Resolution	均值（Approximation coefficients）	差值（Detail coefficients）
4	[8, 4, 1, 3]
2	[6, 2]	[2, -1]
1	[4]	[2]

这样，我们就得到了一组由 1 个均值（approximation coefficients）和 3 个差值（detail coefficients）组成的 Haar 小波基系数：

[8,4,1,3]→[4,2,2,−1]

在这个分解过程中，图像信息没有任何损失，通过分解的逆操作可以无损地还原图像：

[4,2,2,−1]→[4+2,4−2,2,−1]=[6,2,2,−1]

[6,2,2,−1]→[6+2,6−2,2+(−1),2−(−1)]=[8,4,1,3]

上面的还原方法是基于我们进行分解的逆操作得到的，接下来我们从基函数的角度来看刚刚的分解和还原过程。

首先介绍 Haar 小波的两个函数。

 

从基函数的角度看之前的分解过程

经过第一次分解得到的系数是 [6,2,2,−1], 其中 approximation coefficients 是 6,2，detail coefficients 是 2,−1 ，对应表达式为：

经过第二次分解得到的系数是 [4,2,2,−1], 其中 approximation coefficients 是 4，detail coefficients 是 2,2,−1：

2. 2D Haar

2D Haar 分解可以看作分别对所有行和所有列进行 1D Haar 分解。根据不同顺序分解行和列会产生两种不同的分解方法。

先把行分解到最精细，然后再分解列的方法叫做 standard decomposition。而行列交替分解的方法叫做 non-standard decomposition。

Standard decomposition

Non-standard decomposition

需要注意的是，这两种分解方法所产生的基函数是不一样的，要加以区分。

在后面我们要介绍的 triple Product Wavelet Integrals 所用到的是第二种 non-standard decomposition。

3. 小波实例

// verified on opencv4.2.0
# include<opencv.hpp>
# include<iostream>
 
 
using namespace std;
using namespace cv;
 
 
int main()
{
	Mat img = imread("Lena.jpg", cv::IMREAD_GRAYSCALE);
	int width = img.cols;
	int height = img.rows;
	int depth = 2;   
	int depthcount = 1;
 
	Mat tmp = Mat::ones(img.size(), CV_32FC1);
	Mat wavelet = Mat::ones(img.size(), CV_32FC1);
	Mat imgtmp = img.clone();
	imshow("src", imgtmp);
	imgtmp.convertTo(imgtmp, CV_32FC1, 1.0 / 255);
 
	while (depthcount <= depth)
	{
		height = img.rows / depthcount;
		width = img.cols / depthcount;
 
 
 
		//calculate horizen
		for (int i = 0; i < height; i++) //row
		{
			for (int j = 0; j < width / 2; j++) // col
			{
				tmp.at<float>(i, j) = (imgtmp.at<float>(i, 2 * j) + imgtmp.at<float>(i, 2 * j + 1)) / 2; //mean
				tmp.at<float>(i, j + width / 2) = (imgtmp.at<float>(i, 2 * j) - imgtmp.at<float>(i, 2 * j + 1)) / 2; //diff
			}
		}
 
		// calculate vertical
		for (int i = 0; i < height / 2; i++)
		{
			for (int j = 0; j < width; j++)
			{
				wavelet.at<float>(i, j) = (tmp.at<float>(2 * i, j) + tmp.at<float>(2 * i + 1, j)) / 2;
				wavelet.at<float>(i + height / 2, j) = (tmp.at<float>(2 * i, j) - tmp.at<float>(2 * i + 1, j)) / 2;
			}
		}
		imgtmp = wavelet;
		depthcount++;
	}
 
	normalize(wavelet, wavelet, 0, 1, cv::NORM_MINMAX);
 
	imshow("wavelet", wavelet);
 
	waitKey(0);
	return 0;
}

Reference

Wavelets for Computer Graphics: A Primer

哈尔(Haar)小波变换的原理及opencv源代码_haar小波变换原理_kuweicai的博客-CSDN博客 

 Haar 小波——原理 - 知乎