一、算法概述

OTSU 算法是一种用于图像分割的自动阈值选择算法，广泛应用于图像处理领域，特别是在二值化过程中。它是由日本学者大津展之（Nobuyuki Otsu）在1979年提出，因此得名“OTSU算法”。

二、算法原理

OTSU算法的核心思想是通过遍历所有可能的阈值，将图像分割为前景（目标）和背景两部分，使得这两部分之间的类内方差（intra-class variance）最小，或者说使得这两部分之间的类间方差（inter-class variance）最大，也称为最大类间方差算法。

2.1 研究任务

该算法主要用于进行图像分割，针对于图像的灰度直方图，计算灰度级别从 0 到 255 的频率分布，然后希望选择一个最佳的灰度级别（分割阈值）。将图像的各个像素分为两个部分，灰度值小于等于阈值的为一个部分（背景），灰度值大于阈值的为另外一个部分（前景）。

• 图像二值化
  图像分割最常见的就是将图像中的物体分割为两个部分，最直观的反映就是二值化。根据 OTSU 算法划分出的前景和背景两个部分，可以将背景的像素点设置为 0 （黑色），前景的像素点设置为 255 （白色），便可实现自适应的图像二值化分割。

2.2 算法推导

基本定义

假定图像尺寸为 $W\times H$，给定一个分割阈值 $T$，图像的所有像素点可以分为背景和前景（目标）两个部分。现定义以下个各参数表示，

含义	符号	含义	符号	含义	符号
划分为背景的像素点个数	$N_0$	划分为前景的像素点个数	$N_1$	整个图像的像素点个数	$N$
背景像素点数占整张图像比例	${\omega }_0$	前景像素点数占整张图像比例	${\omega }_1$
背景像素灰度均值	${\mu }_0$	前景像素灰度均值	${\mu }_1$	整个图像像素灰度均值	$\mu$
背景像素点方差	${\sigma }_0^2$	前景像素点方差	${\sigma }_1^2$
类内方差	${\sigma }_W^2$	类间方差	${\sigma }_B^2$
整张图像的灰度级	$L$	第 $i$ 个灰度级的像素个数	$n_i$	分割灰度值阈值	$T$
图像背景像素点类	$C_0$	图像前景像素点类	$C_1$

定义以上参数后，可以直接得到参数关系：
$${\omega }_0=\frac{N_0}{N}\text{\hspace{1em}(1)}$$
$${\omega }_1=\frac{N_1}{N}\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$N=W\ast H=N_0+N_1\text{\hspace{1em}(3)}$$
进一步，由公式 $(1)\sim (3)$ 推得，
$${\omega }_0+{\omega }_1=1\text{\hspace{1em}(4)}$$
$$\begin{array}{rl}\mu & =\frac{{\mu }_0\ast N_0+{\mu }_1\ast N_1}{N}\\ & ={\mu }_0\ast {\omega }_0+{\mu }_1\ast {\omega }_1\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

类内方差与类间方差

• 类内方差（Within-class variance）
  $${\sigma }_W^2={\omega }_0{\sigma }_0^2+{\omega }_1{\sigma }_1^2\text{\hspace{1em}(6)}$$

类内方差是背景与前景两类像素方差的加权和，权重分别为对应像素点占比。

• 类间方差（Between-class variance）
  $$\begin{array}{rl}{\sigma }_B^2& ={\omega }_0({\mu }_0-\mu {)}^2+{\omega }_1({\mu }_1-\mu {)}^2\\ & ={\omega }_0{\omega }_1({\mu }_0-{\mu }_1{)}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

类间方差推导过程
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_B^2& ={\omega }_0({\mu }_0-\mu {)}^2+{\omega }_1({\mu }_1-\mu {)}^2\\ & ={\omega }_0({\mu }_0-({\omega }_0{\mu }_0+{\omega }_1{\mu }_1){)}^2+{\omega }_1({\mu }_1-({\omega }_0{\mu }_0+{\omega }_1{\mu }_1){)}^2\\ & ={\omega }_0((1-{\omega }_0){\mu }_0-{\omega }_1{\mu }_1{)}^2+{\omega }_1((1-{\omega }_1){\mu }_1-{\omega }_0{\mu }_0{)}^2\\ & ={\omega }_0({\omega }_1{\mu }_0-{\omega }_1{\mu }_1{)}^2+{\omega }_1({\omega }_0{\mu }_1-{\omega }_0{\mu }_0{)}^2\\ & ={\omega }_0{\omega }_1^2({\mu }_0-{\mu }_1{)}^2+{\omega }_1{\omega }_0^2({\mu }_0-{\mu }_1{)}^2\\ & =({\omega }_0+{\omega }_1){\omega }_0{\omega }_1({\mu }_0-{\mu }_1{)}^2\\ & ={\omega }_0{\omega }_1({\mu }_0-{\mu }_1{)}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

详细解释

该图像有 $L$ 个灰度级，则对应的灰度值范围为 $[0,1,2,\cdots ,L-1]$，最大的灰度级即 $L=255$。对应第 $i$ 个灰度级的像素个数为 $n_i$，则我们可以对【基本定义】中的参数进一步细化，
$$\begin{array}{rl}N=W\ast H& =n_1+n_2+\cdots +n_{L-1}\\ & =\sum _{i=0}^{L-1}{n}_i\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$
对所有像素点绘制灰度直方图，会得到每个灰度值在图像中出现的频率，具体表示灰度值为 $i$ 的像素在图像中出现的频率为 $f_i$，如果我们以频率估计概率，将其视为灰度值概率，可以得到
$$p_i=f_i=\frac{n_i}{N}(i=0,1,\cdots ,L-1)\text{\hspace{1em}(10)}$$
$$\sum _{i=0}^{L-1}{p}_i=1\text{\hspace{1em}(11)}$$
在灰度值阈值 $T$ 划分下，所有像素点分为两类记为 $C_0,C_1$，其中 $C_0$ 类表示图像背景，对应的灰度级别为 $[0,1,\cdots ,T-1]$，$C_1$ 类表示图像前景，对应的灰度级别为 $[T,T+1,\cdots ,L-1]$。
对应于基本定义中像素点占比，从概率的角度应该计算每个类别的所有概率点，即
$$\begin{array}{rl}{\omega }_0(T)& =P_r(C_0)=\sum _{i=0}^{T-1}{p}_i\\ {\omega }_1(T)& =P_r(C_1)=\sum _{i=T}^{L-1}{p}_i=1-{\omega }_0(T)\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$
由离散型概率分布，可以计算出图像整体灰度值，并且其与灰度值阈值的选取无关，为了下文统一标识，在这里记作 $\mu (L)$ 表示前 $L$ 级的平均灰度值。
$$\mu (L)=\sum _{i=0}^{L-1}i\ast p_i\text{\hspace{1em}(13)}$$
前面 ${\omega }_0(T),{\omega }_1(T)$ 是我们获取得到的各类别的概率点，可以估计为各类别像素点占比。现在需要计算的是，各类别对应的平均灰度值，
$$\begin{array}{rl}{\mu }_0& =\sum _{i=0}^{T-1}i\ast P_r(i|C_0)=\sum _{i=0}^{T-1}i\ast \frac{p_i}{{\omega }_0(T)}\\ & =\frac{1}{{\omega }_0(T)}\sum _{i=0}^{T-1}i\ast p_i\\ & =\frac{\mu (T)}{{\omega }_0(T)}\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$
$$\begin{array}{rl}{\mu }_1& =\sum _{i=T}^{L-1}i\ast P_r(i|C_0)=\sum _{i=T}^{L-1}i\ast \frac{p_i}{{\omega }_1(T)}\\ & =\frac{1}{{\omega }_1(T)}\sum _{i=T}^{L-1}i\ast p_i\\ & =\frac{\mu (L)-\mu (T)}{{\omega }_1(T)}\end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$
根据式 $(14),(15)$ 进一步得到，
$$\begin{array}{rl}{\mu }_0{\omega }_0(T)& =\mu (T)\\ {\mu }_1{\omega }_1(T)& =\mu (L)-\mu (T)\end{array}\text{\hspace{1em}(16)}$$
由上述关系，直接相加两个等式可以得到与【基本定义】一致的关系式，
$$\mu (L)={\mu }_0{\omega }_0(T)+{\mu }_1{\omega }_1(T)\text{\hspace{1em}(17)}$$
进一步，可以计算图像整体以及各类比的各像素灰度值方差，
$$\begin{array}{rl}{\sigma }^2& =\sum _{i=0}^{L-1}(i-\mu (L){)}^2{p}_i\\ {\sigma }_0^2& =\sum _{i=0}^{T-1}(i-{\mu }_0{)}^2{P}_r(i|C_0)=\sum _{i=0}^{T-1}\frac{(i-{\mu }_0{)}^2{p}_i}{{\omega }_0(T)}\\ {\sigma }_1^2& =\sum _{i=T}^{L-1}(i-{\mu }_1{)}^2{P}_r(i|C_1)=\sum _{i=T}^{L-1}\frac{(i-{\mu }_1{)}^2{p}_i}{{\omega }_1(T)}\end{array}\text{\hspace{1em}(18)}$$
计算类内方差，
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_W^2& ={\omega }_0(T){\sigma }_0^2+{\omega }_1(T){\sigma }_1^2\\ & ={\omega }_0(T)\ast \frac{1}{{\omega }_0(T)}\sum _{i=0}^{T-1}(i-{\mu }_0{)}^2{p}_i+{\omega }_1(T)\ast \frac{1}{{\omega }_1(T)}\sum _{i=T}^{L-1}(i-{\mu }_1{)}^2{p}_i\\ & =\sum _{i=0}^{T-1}(i-{\mu }_0{)}^2{p}_i+\sum _{i=T}^{L-1}(i-{\mu }_1{)}^2{p}_i\end{array}\text{\hspace{1em}(19)}$$
计算类间方差，
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_B^2& ={\omega }_0(T){\omega }_1(T)({\mu }_0-{\mu }_1{)}^2\\ & ={\omega }_0(T){\omega }_1(T)(\frac{\mu (T)}{{\omega }_0(T)}-\frac{\mu (L)-\mu (T)}{{\omega }_1(T)}{)}^2\\ & ={\omega }_0(T){\omega }_1(T)(\frac{\mu (T){\omega }_1(T)-\mu (L){\omega }_0(T)+\mu (T){\omega }_0(T)}{{\omega }_0(T){\omega }_1(T)}{)}^2\\ & =\frac{(\mu (T)-\mu (T){\omega }_0(T)-\mu (L){\omega }_0(T)+\mu (T){\omega }_0(T){)}^2}{{\omega }_0(T){\omega }_1(T)}\\ & =\frac{(\mu (T)-\mu (L){\omega }_0(T){)}^2}{{\omega }_0(T){\omega }_1(T)}\end{array}\text{\hspace{1em}(20)}$$

类内方差与类间方差和为定值

$${\sigma }_W^2+{\sigma }_B^2={\sigma }^2\text{\hspace{1em}(21)}$$

详细推导
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_W^2+{\sigma }_B^2& =({\omega }_0(T){\sigma }_0^2+{\omega }_1(T){\sigma }_1^2)+({\omega }_0(T)({\mu }_0-\mu {)}^2)+{\omega }_1(T)({\mu }_1-\mu {)}^2)\\ & =({\omega }_0(T){\sigma }_0^2+{\omega }_0(T)({\mu }_0-\mu {)}^2)+({\omega }_1(T){\sigma }_1^2+{\omega }_1(T)({\mu }_1-\mu {)}^2)\end{array}\text{\hspace{1em}(22)}$$
其中 ${\omega }_0(T){\sigma }_0^2$ 推导如下
$$\begin{array}{rl}{\omega }_0(T){\sigma }_0^2& ={\omega }_0(T)\left[\frac{1}{{\omega }_0(T)}\sum _{i=0}^{T-1}(i-{\mu }_0{)}^2{p}_i\right]\\ & ={\omega }_0(T)\left[\frac{1}{{\omega }_0(T)}\sum _{i=0}^{T-1}{\left((i-\mu (L))+(\mu (L)-{\mu }_0)\right)}^2{p}_i\right]\\ & ={\omega }_0(T)\left[\frac{1}{{\omega }_0(T)}\sum _{i=0}^{T-1}\left((i-\mu (L){)}^2+2(i-\mu (L))(\mu (L)-{\mu }_0)+(\mu (L)-{\mu }_0{)}^2\right)p_i\right]\\ & =\left(\sum _{i=0}^{T-1}(i-\mu (L){)}^2\ast p_i\right)+\left(\sum _{i=0}^{T-1}2(i-\mu (L))(\mu (L)-{\mu }_0)\ast p_i\right)+\left((\mu (L)-{\mu }_0{)}^2\sum _{i=0}^{T-1}{p}_i\right)\\ & =\left(\sum _{i=0}^{T-1}(i-\mu (L){)}^2\ast p_i\right)+\left(2(\mu (L)-{\mu }_0)\sum _{i=0}^{T-1}(i-\mu (L))p_i\right)+\left({\omega }_0(T)(\mu (L)-{\mu }_0{)}^2\right)\\ & =\left(\sum _{i=0}^{T-1}(i-\mu (L){)}^2\ast p_i\right)+\left(2(\mu (L)-{\mu }_0)\left[\sum _{i=0}^{T-1}i{p}_i-\sum _{i=0}^{T-1}\mu (L)p_i\right]\right)+\left({\omega }_0(T)(\mu (L)-{\mu }_0{)}^2\right)\\ & =\left(\sum _{i=0}^{T-1}(i-\mu (L){)}^2\ast p_i\right)+2(\mu (L)-{\mu }_0)({\omega }_0(T){\mu }_0-\mu (L){\omega }_0(T))+\left({\omega }_0(T)(\mu (L)-{\mu }_0{)}^2\right)\\ & =\left(\sum _{i=0}^{T-1}(i-\mu (L){)}^2\ast p_i\right)-2{\omega }_0(T)({\mu }_0-\mu (L){)}^2+\left({\omega }_0(T)(\mu (L)-{\mu }_0{)}^2\right)\\ & =\left(\sum _{i=0}^{T-1}(i-\mu (L){)}^2\ast p_i\right)-{\omega }_0({\mu }_0-\mu (L){)}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(23)}$$
其中 ${\sum }_{i=0}^{T-1}i{p}_i={\omega }_0(T){\mu }_0$ 可以由式 $(14)$ 推导得到。
同理推导出
$${\omega }_1(T){\sigma }_1^2=\left(\sum _{i=T}^{L-1}(i-\mu (L){)}^2\ast p_i\right)-{\omega }_1({\mu }_1-\mu {)}^2\text{\hspace{1em}(24)}$$
进一步整理得到，
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_W^2+{\sigma }_B^2& =\sum _{i=0}^{T-1}(i-\mu (L){)}^2\ast p_i+\sum _{i=T}^{L-1}(i-\mu (L){)}^2\ast p_i\\ & =\sum _{i=0}^{L-1}(i-\mu (L){)}^2\ast p_i\\ & ={\sigma }^2\end{array}\text{\hspace{1em}(25)}$$

三、图像处理应用

• 【TODO】

四、其他领域应用

4.1 噪声标签学习

• 【TODO】

4.2 其他领域

• 【TODO】

参考文献

• A Threshold Selection Method from Gray-Level Histograms | IEEE Journals & Magazine | IEEE Xplore
• otsu算法详细推导、实现及Multi Level OTSU算法实现