本文采用的定义在上一篇文章《【高等数学笔记】证明：闭包一定是闭集》中给出。

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一、孤立点

定义 若$a\in A$，但$a\notin A^{\prime }$，则称$a$为$A$的孤立点。
显然，根据定义，孤立点不是聚点，不属于$A$的导集，但属于$A$，因此属于$A$的闭包。

在上一篇文章我们介绍了

定理1 $a\in A^{\prime }⟺\forall \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A\ne \varnothing$（$\varnothing$表示空集）。

取它的否命题：

推论 $a\notin A^{\prime }⟺\exists \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A=\varnothing$。

于是我们有：

定理4 孤立点不属于内部。
证明：设$a$是$A$的孤立点。假设$a\in A^{\circ }$，则$\exists \delta >0$使得$U(a,\delta )\subseteq A$。然而，$\exists \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A=\varnothing$，分类讨论：
当$\delta \le \epsilon$时，$\mathring{U}(a,\delta )\subseteq \mathring{U}(a,\epsilon )$，则$\mathring{U}(a,\delta )\cap A=\varnothing$，$U(a,\delta )\subseteq A$显然不成立；
当$\delta >\epsilon$时，由$\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A=\varnothing$知$\exists p\in \mathring{U}(a,\epsilon )$使得$p\notin A$，而$\mathring{U}(a,\epsilon )\subset U(a,\delta )$，所以$p\in U(a,\delta )$，故也不成立。
综上，孤立点不属于内部。证毕。∎

定义 设$a\in R^n$，$A\subseteq R^n$，若$\forall \delta >0$，$U(a,\delta )\cap A\ne \varnothing$，且$U(a,\delta )\cap A^C\ne \varnothing$，则$a$是$A$的边界点。$A$的所有边界点组成的集合称为$A$的边界，记作$\partial A$。

定义 设$A\subseteq R^n,a\in R^n$，若$\exists \delta >0$，使得$U(a,\delta )\cap A=\varnothing$，则称$a$是集合$A$的外点。由$A$的所有外点组成的集合称为$A$的外部，记作$\text{ext}A$。

定理5 $R^n=A^{\circ }\cup \partial A\cup \text{ext}A$。
证明：考察$U(a,\delta )$及内点、边界点、外点的定义即可。
换句话说，对于集合$A$而言，$R^n$中的每个店点要么是它的内点，要么是它的边界点，要么是它的外点。∎

定理6 孤立点是边界点。
证明：设$a$是$A$的孤立点。$\forall \delta >0$，$U(a,\delta )\cap A\ne \varnothing$显然满足，因此$a$不是外点。又由定理4知$a$不是内点，故$a$是边界点。∎

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二、闭包

我们将给出一个重要结论：闭包是内部和边界的并。
引理1 $A\subseteq A^{\circ }\cup \partial A$。
证明：只需证$\forall a\in A$，$a\notin \text{ext}A$。而$\forall \delta >0$，$U(a,\delta )\cap A\ne \varnothing$，故根据外点的定义，$a\notin \text{ext}A$，即$a\in {(\text{ext}A)}^C=A^{\circ }\cup \partial A$。因此引理成立。∎

引理2 $A^{\circ }\subseteq A$。
证明：设$a\in A^{\circ }$，则$\exists \delta >0$，使得$U(a,\delta )\subseteq A$，而$a\in U(a,\delta )$，那么$a\in A$。∎

定理7 $\bar{A}=A^{\circ }\cup \partial A$。
证明：由定义，$\bar{A}=A\cup A^{\prime }$。所以需证$A\cup A^{\prime }=A^{\circ }\cup \partial A$。
先证$\bar{A}\subseteq A^{\circ }\cup \partial A$。由引理1，只需证$A^{\prime }\subseteq A^{\circ }\cup \partial A$。由定理1知，$a\in A^{\prime }⟺\forall \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A\ne \varnothing$，因此根据外点的定义有$\forall a\in A^{\prime }$，$a\notin \text{ext}A$，即$A^{\prime }\cap \text{ext}A=\varnothing$，所以$A^{\prime }\subseteq A^{\circ }\cup \partial A$。因此$\bar{A}\subseteq A^{\circ }\cup \partial A$。
再证$A^{\circ }\cup \partial A\subseteq \bar{A}$。由引理2知$A^{\circ }\subseteq A$，故只需证$\partial A\subseteq \bar{A}$。设$a\in \partial A$，分类讨论：
(1) 当$a\in A$，显然有$a\in \bar{A}$；
(2) 当$a\notin A$，根据边界点的定义，$\forall \delta >0$，$U(a,\delta )\cap A\ne \varnothing$，结合$a\notin A$有$\mathring{U}(a,\delta )\cap A\ne \varnothing$，由定理1知$a\in A^{\prime }$。
综上所述，$\bar{A}=A^{\circ }\cup \partial A$。∎

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三、内点

定理8 内点一定是聚点。
证明：设$A\subseteq R^n$，$a\in A^{\circ }$，根据内点的定义有$\exists \delta >0$，使得$U(a,\delta )\subseteq A$，即$\mathring{U}(a,\delta )\subseteq A$。$\forall \epsilon >0$，$\exists x\in \mathring{U}(a,\min (\delta ,\epsilon ))\subseteq U(a,\delta )$，使得$x\in \mathring{U}(a,\epsilon )$，且$x\in A$，因此$\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A\ne \varnothing$，所以$a$是聚点。∎

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四、边界

最后我们讨论边界。根据定理7的证明，我们看到，边界点在不属于原集合时一定属于原集合的导集。我们将边界对是否属于原集合和导集进行讨论，得到下表：

边界点	$\in A$	$\notin A$
$\in A^{\prime }$	可以（例如闭区间的端点）	可以，例如： (1) 开区间的端点； (2) 当$A=\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \right\}$时，$0$是边界点、聚点，但不属于$A$
$\notin A^{\prime }$	可以（就是孤立点）	不可以

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结合上述所有讨论，得到下面这张维恩（Venn）图：

我们将平面上的点分为5类：①$A$的内点、②$A$的孤立点、③“粘着”在$A$上且属于$A$的点、④“粘着”在$A$上且不属于$A$的点、⑤$A$的外点（图中未画出）。
例如，对于集合 S = { ( x , y ) ∣ 1 < x 2 + y 2 ≤ 4 } ∪ { ( 5 , 5 ) } S=\left\{(x,y)|1<x^2+y^2\le4\right\}\cup\{(5,5)\} S={(x,y)∣1<x2+y2≤4}∪{(5,5)}：
①$S$的内点是$S_1=S^{\circ }=\left\{(x,y)|1<x^2+y^2<4\right\}$；
②$S$的孤立点是 S 2 = { ( 5 , 5 ) } S_2=\{(5,5)\} S2​={(5,5)}；
③“粘着”在$S$上且属于$S$的点是$S_3=\left\{(x,y)|x^2+y^2=4\right\}$；
④“粘着”在$S$上且不属于$S$的点是$S_4=\left\{(x,y)|x^2+y^2=1\right\}$；
⑤$S$的外点是$S_5=\text{ext}S=\left\{(x,y)|x^2+y^2<1或x^2+y^2>4且(x,y)\ne (5,5)\right\}$。
又，
$S=S_1\cup S_2\cup S_3$，
$S^{\prime }=S_1\cup S_3\cup S_4$，
$\partial S=S_2\cup S_3\cup S_4$。