沃利斯积分公式是求解形如$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\text{d}x$$这种积分的公式。

一、正弦函数（$\sin$）的沃利斯公式

记$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\text{d}x$。当$n\ge 2$时，应用凑微分和分部积分得$$\begin{array}{rl}{I}_n& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\text{d}x=-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n-1}x\text{d}(\cos x)\\ & =-\left[{{\sin }^{n-1}x\cos x|}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos x\text{d}({\sin }^{n-1}x)\right]\\ & =-\left[{{\sin }^{n-1}x\cos x|}_0^{\frac{\pi }{2}}-(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x{\sin }^{n-2}x\text{d}x\right]\\ & =-\left[0-0-(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-{\sin }^{2}x){\sin }^{n-2}x\text{d}x\right]\\ & =-(n-1)\left[-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n-2}x\text{d}x+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\text{d}x\right]\\ & =(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\end{array}$$即$$I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n$$$$n{I}_n=(n-1)I_{n-2}$$$$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$$当$n$为奇数时，$$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}{I}_{n-4}=\cdots =\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{2}{3}{I}_1$$其中$I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\text{d}x=-{\cos x|}_0^{\frac{\pi }{2}}=1$，故此时$I_n=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{2}{3}$；
当$n$为偶数时，$$I_n=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{2}{I}_0$$而${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{0}x\text{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\text{d}x=\frac{\pi }{2}$，故此时$I_n=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}$。
综上所述，$$I_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{2}{3},& n\text{为奇数，}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{为偶数。}\end{array}$$记忆时，我们只需牢记递推公式$$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$$即可。

二、余弦函数（$\cos$）的沃利斯公式

在$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\text{d}x$中，令$u=\frac{\pi }{2}-x$，则$\cos u=\sin x$，$\text{d}u=-\text{d}x$，$$I_n={\int }_{\frac{\pi }{2}}^0{\cos }^{n}u\cdot -\text{d}u={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}u\text{d}u$$所以余弦函数和正弦函数的公式是完全一样的：$$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\text{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x\text{d}x=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{2}{3},& n\text{为奇数，}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},& n\text{为偶数。}\end{array}$$

三、扩展到$0\sim \pi$的情况

对于${\int }_0^{\pi }{\sin }^{n}x\text{d}x$，因为$\sin x$关于$x=\frac{\pi }{2}$对称，所以${\int }_0^{\pi }{\sin }^{n}x\text{d}x=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\text{d}x=2I_n$。
对于${\int }_0^{\pi }{\cos }^{n}x\text{d}x$：
(1) 当$n$为奇数时，${\cos }^{n}x$在$x=\frac{\pi }{2}$两边互为相反数，所以积分值为$0$；
(2) 当$n$为偶数时，${\cos }^{n}x$关于$x=\frac{\pi }{2}$对称，所以${\int }_0^{\pi }{\cos }^{n}x\text{d}x=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x\text{d}x$。