一、连续系统的状态空间表达式

1.1 案例描述

给定二阶传递函数 $G(s)=\frac{133}{s^2+25s}$，及其状态空间表达式：
$\dot{x}=\left(\begin{array}{lc}0& -1\\ 0& -25\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{l}0\\ 133\end{array}\right)u$
$y=\left(\begin{array}{lc}1& 0\end{array}\right)x$

用s-function表示。

1.2 案例详解

步骤1.可以修改sfuntmpl函数的名称（这里修改为sfun）

function [sys,x0,str,ts,simStateCompliance] = sfun(t,x,u,flag)

步骤2.基本参数初始化
两个连续状态数，一个输出，一个输入，输入和输出没有直接联系
因此，设置相应属性：

sizes.NumContStates  = 2;
sizes.NumDiscStates  = 0;
sizes.NumOutputs     = 1;
sizes.NumInputs      = 1;
sizes.DirFeedthrough = 0;
sizes.NumSampleTimes = 1;

初始化x0：

x0  = [0 0];

步骤3.设置mdlDerivatives函数
连续状态的导数

function sys=mdlDerivatives(t,x,u)

sys(1) = x(2);
sys(2)=-25*x(2)+133*u;

步骤4.设置mdlOutputs函数
输出函数代码如下：

function sys=mdlUpdate(t,x,u)

sys = x(1);

步骤5.搭建simulink

1.3 输出波形

运行发现，二者输出波形相同，说明s-function编写正确！

二、离散系统的状态空间表达式

2.1 案例描述

用S-function实现下面的离散系统：
$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$
$y(k)=Cx(k)+Du(k)$
其中$A=\left[\begin{array}{lc}-1& -0.5\\ 1& 0\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{l}-2.5\\ 4.2\end{array}\right]$，$C=\left[\begin{array}{lc}0& 2\\ 0& 7\end{array}\right]$，$D=\left[\begin{array}{l}-0.8\\ 0\end{array}\right]$

2.2 案例详解

步骤1.可以修改sfuntmpl函数的名称（这里修改为fuzhi）,然后在主函数主体中输入矩阵A,B,C,D的值：

function [sys,x0,str,ts,simStateCompliance] = fuzhi(t,x,u,flag)
A=[-1,-0.5;1,0];
B=[-2.5;4.2];
C=[0,2;0,7];
D=[-0.8;0];

接着，设置case里的所有函数参数：

  case 2,
    sys=mdlUpdate(t,x,u,A,B);

  case 3,
    sys=mdlOutputs(t,x,u,C,D);

步骤2.基本参数初始化

离散状态变量个数为2，2个输出，1个输入，输入和输出有直接联系
因此，设置相应属性：

sizes.NumContStates  = 0;
sizes.NumDiscStates  = 2;
sizes.NumOutputs     = 2;
sizes.NumInputs      = 1;
sizes.DirFeedthrough = 1;
sizes.NumSampleTimes = 1; 

初始状态设置为[1,1]，采样时间设置为0.1s：

x0  = [1 1];%初始状态为[1,1]

ts  = [0.1 0];%采样时间为0.1s

步骤3.设置mdlUpdate函数

function sys=mdlUpdate(t,x,u,A,B)

sys = A*x+B*u;

步骤4.设置mdlOutputs函数
输出函数代码如下：

function sys=mdlOutputs(t,x,u,C,D)

sys = C*x+D*u;

步骤5.搭建simulink

2.3 输出波形

仿真结果如上图所示，黄色曲线为输入阶跃信号，蓝色曲线和红色曲线分别为两个输出变量。

三、离散系统的状态空间表达式（2）

3.1 案例描述

用S-function实现下面的离散系统：
$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$
$y(k)=Cx(k)$
其中$A=\left[\begin{array}{lc}-0.5572& -0.7814\\ 0.7814& 0\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{lc}1& -1\\ 0& 2\end{array}\right]$，$C=\left[\begin{array}{lc}1.9691& 6.4493\end{array}\right]$

3.2 案例详解

步骤1.可以修改sfuntmpl函数的名称（这里修改为fuzhi）,并在括号内增加输入参数A,B,C：

function [sys,x0,str,ts,simStateCompliance] = fuzhi(t,x,u,flag,A,B,C)

接着，设置case里的所有函数参数：

  case 2,
    sys=mdlUpdate(t,x,u,A,B);

  case 3,
    sys=mdlOutputs(t,x,u,C);

步骤2.基本参数初始化

离散状态变量个数为2，1个输出，2个输入，输入和输出没有直接联系
因此，设置相应属性：

sizes.NumContStates  = 0;
sizes.NumDiscStates  = 2;
sizes.NumOutputs     = 1;
sizes.NumInputs      = 2;
sizes.DirFeedthrough = 0;
sizes.NumSampleTimes = 1; 

初始状态设置为[0,0]：

x0  = [0 0];

ts  = [0 0];

步骤3.设置mdlUpdate函数

function sys=mdlUpdate(t,x,u,A,B)

sys = A*x+B*u;

步骤4.设置mdlOutputs函数
输出函数代码如下：

function sys=mdlOutputs(t,x,u,C)

sys = C*x;

步骤5.搭建simulink

步骤6.“Create Mask”,创建A,B,C第三个mask:

步骤7.右击“Block Parameters”，设置参数，将s-function的参数改为如下形式：

步骤8.双击S-function，输入A,B,C的基本内容：

3.3 输出波形

当然，上述S-function中也可以不使用参数列表传递状态方程的参数A,B,C，而使用全局变量在各个子函数中声明，同样也能达到互传的效果，但并不推荐这样做，理由有二：
①全局变量会破坏模块化设计，增加模块之间的耦合性。当系统复杂之后，依赖全局变量过多，会造成难以管理的混乱局面。
②不出现多次global声明，代码看起来清爽简约并充分发挥了S函数的作用。

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往期文章：
1. S-function入门及案例详解（1）——S-function基础介绍及基本案例
2. S-function入门及案例详解（2）——S-function基本案例介绍
3. S-function入门及案例详解（3）——S-function进阶案例