1. 什么是图搜索过程？其中，重排Open表意味着什么？重排的原则是什么？

   图搜索策略是一种在图中寻找解路径的方法。

   重排open表指的是当open表不为空时，新插入结点后需重新调整open表的顺序，以确保open表中的结点按一定的优先级进行排序。

   重排的原则取决于所用的搜索算法和数据结构。如深度优先搜索中，open表通常是栈，新节点被加到栈顶；广度优先搜索中，open表通常是队列，新节点被加到队尾；A*算法中，open表通常是优先队列，结点的优先级取决于它的估价函数，新节点需要通过排序放到合适的位置。

2. 试给出爬山法和分支界限搜索算法搜索图1所示的从A到J的搜索路径，其中g(n)用节点深度表示，h(n)的值在图中显示。

​ 爬山法：总是考虑与目标之间的差距，即g(n)=0,h(n)，open表中的全部节点

​

​ 搜索路径为ADEJ

​ 分支界限搜索法：总是扩展具有最小耗散值的路径，即g(n),h(n)=0

​

​ 搜索路径为ABCDGHEFIJ

3. 怎么用一架天平3次称出13个硬币中唯一的然而未知轻重的假币（已知有标准的硬币）

   将硬币分为4，4，5三组，编号为a1-a4，b1-b4，c1-c5。

   第一次称量，a组与b组

   1. 相等

      假币在c组

      第二次称量，a1-a3与c1-c3

      1. 相等

         假币在c4，c5中

         第三次称量，a1与c4

         1. 相等

            假币为c5

         2. 不等

            假币为c4，且可得知假币的轻重

      2. 不等

         假币在c1-c3中，且可得知假币的轻重，假设假币比真币重

         第三次称量，c1与c2

         1. 相等

            假币为c3

         2. 不等

            重的那枚为假币

   2. 不等

      设称量结果为a组比b组重（a1-a4>b1-b4），且a组在天平左边，b组在天平右边

      第二次称量，(b1，c1-c3)(左)与(a1，b2-b4)(右)

      1. 相等

         假币在a2-a4中，且假币比真币重

         第三次测量，a2与a3

         1. 相等

            假币为a4

         2. 不等

            重的那枚为假币

      2. 不等

         1. 左>右

            如果假币是b1或a1，则与第二次称量（a1-a4>b1-b4）的结果相矛盾

            所以假币在b2-b4中，且假币比真币轻

            第三次称量，b2与b3

            1. 相等

               假币为b4

            2. 不等

               轻的那枚为假币

         2. 左<右

            假币在b1，a1之间

            第三次称量，b1与c1

            1. 相等

               假币为a1

            2. 不等

               假币为b1，且可得知假币的轻重

4. 给定4升和3升的水壶各一个。水壶上没有刻度。可以向水壶中加水。如何在4升的壶中准确的得到2升水？

   初始状态为（0，0），目标状态为（2，x）。水壶的容量信息为{4，3，0}。

   1. 尝试4-2=2：无法用2求得2，此路径无解。
   2. 尝试3-1=2：
      1. 求1，4-3=1，从加满水的4升水壶中向空的3升水壶里加满，这样4升水壶里只剩下1升。
      2. 3-1=2，将3升水壶倒空，把4升水壶中剩的1升水倒入3升水壶中，3升水壶还剩2升空间。
      3. 目前有2，考虑4-2=2，将4升水壶加满，然后用4升水壶中的水将3升水壶加满，则4升水壶剩下2升水。找到目标状态。

5. 对于A* 算法，证明下面的结论：

   1. 对于有限图，A* 算法一定会在有限步内终止；

      1. 若有解，即存在从初始节点到目标节点的路径，则在找到目标节点后A*算法终止。
      2. 若无解，由于有限图的节点数量是有限的，当open表中所有的节点都被扩展后，open表为空，满足终止条件，A*算法终止。

      综上，对于有限图，A*算法一定会在有限步内终止。

   2. 对于无限图，只要从初始节点到目标节点有路径存在，则A* 算法也必然会终止；

      引理1：对无限图，若有初始节点S到目标节点T的路径，则A*不结束时，在open表中即使最小的一个值也将增到无限大，或有f(n)>f*(S)

      证明：设open表中的任一节点为n，S到n的最短路径为d(n)，$\sigma$为边耗散值的最小值，则有
      $$\begin{gathered} g(n)\le d(n)\cdot \sigma \\ \text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

      $$f(n)\le g(n)\le d(n)\cdot \sigma \text{\hspace{1em}(2)}$$

      对于无限表，当A*不结束时，open表中不断有节点加入，d(n)会趋于无穷大，又因为$\sigma$>0,所以f(n)会趋于无穷大。又因为open表上任一具有f(n)<f*(S)的节点n，最终都会被A*选做扩展的节点，放入close表中，所以在open表中剩下的节点都有f(n)>f*(S)。

      引理2：A*结束前，open表中必存在f(n)$\le$f*(S)

      证明：A*结束前，open表中存在一个节点n，n在最佳路径上。
      $$\begin{gathered} f(n)=g(n)+h(n)=g^{\ast }(n)+h(n) \\ \le g^{\ast }(n)+h^{\ast }(n)=f^{\ast }(n)=f^{\ast }(S)\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$
      用反证法证明，假设A*不结束：

      由引理1，A*如果不结束，则open中所有n有f(n)>f*(S);

      由引理2，在A*结束前，必存在节点n，使得f(n)$\le$f*(S)

      产生矛盾，所以假设不成立。即对于无限图，只要从初始节点到目标节点有路径存在，则A* 算法也必然会终止。

   3. 若存在路径，则A* 算法一定会终止在最优路径上。

      1. 由定理可知，若存在路径，则A*算法一定终止。
      2. 设找到的路径S->T不是最佳的，则f(T)=g(T)>f*(S)，由引理2知结束前open表中存在f(n)$\le$f*(S)的节点n，所以f(n)$\le$f*(S)<f(T)，因此A*应该选择n扩展，而不是T。与假设A*选择T结束矛盾。所以找到的路径一定是最佳路径。

      综上，若存在路径，则A* 算法一定会终止在最优路径上。
      ->T不是最佳的，则f(T)=g(T)>f*(S)，由引理2知结束前open表中存在f(n)$\le$f*(S)的节点n，所以f(n)$\le$f*(S)<f(T)，因此A*应该选择n扩展，而不是T。与假设A*选择T结束矛盾。所以找到的路径一定是最佳路径。

      综上，若存在路径，则A* 算法一定会终止在最优路径上。