一、数列的定义

如果按照某一法则，对每个n∈N⁺，对应着一个确定的实数xn，这些实数xn，按照下标n从小到大排列得到的一个序列：
x1，X2，x3，…，xn，…
就叫做数列，简记为数列{xn}。数列中的每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做数列的一般项(或通项)。

数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数：xn=f(n)，n∈N⁺。

二、数列极限

设{xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式
|xn-a|<ε
都成立，那么就称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为：

或：

如果不存在这样的常数a，就说数列{xn}没有极限，或者说数列{xn}是发散的。用数学语言描述为：

三、收敛数列的性质

1. 极限唯一性定理：如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一；
2. 收敛数列的有界性定理：如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界；
3. 收敛数列的保号性：如果数列{xn}存在极限a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，使得n>N时，都有xn>0（或xn<0）；反过来，如果数列{xn}从某项其有xn≥0（或xn≤0），且该数列存在极限a，那么a≥0（或a≤0）
4. 收敛数列与其子数列间的关系：如果数列{xn}收敛于a，则其任意子数列也收敛于a。反过来，如果一个数列的两个子数列收敛于不同的极限，则该数列发散；
5. 柯西极限存在准则：数列{xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m>N,n>N时，有：|xn-xm|<ε。

四、函数极限

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。

定义1： 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ，使得当x满足不等式：0<|x-x0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当x一>x0时的极限,记作：

定义中0<|x-x0|<δ表示x≠x0，所以x一>x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0是否有定义并无关系。
定义1可以简单地表述为：

上述定义中，x是可以从坐标轴左侧或右侧趋近于x0，但有时只需要考虑仅从x0的左侧趋近于x0(记为x一>x0^－)，或仅从x的右侧趋近于0（记为x一>x0⁺）。

当从左侧趋近于x0时，0<|x-x0|<δ的条件改为：x0-δ<x<x0，此时的极限叫做左极限，记为：

当从右侧趋近于x0时，0<|x-x0|<δ的条件改为：x0<x<x0+δ，此时的极限叫做右极限，记为：

左极限与右极限统称为单侧极限。
函数f(x)当x一>x0时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，如果都存在但不相等，则函数的极限也不存在。

定义2 设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(不论它多
么小)，总存在着正数X，使得当x满足不等式：|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式
|f(x)-A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当x一>∞时的极限，记作：

可以简单的表达为：

如果x＞0,且无限增大（记作x一>+∞），上面定义中的|x|>X可以改为x>X，记为：

如果x<0，且|x|无限增大（记作x一>-∞），上面定义中的|x|>X可以改为x<-X，记为：

五、函数极限的性质

1. 定理1（极限唯一性定理）：如果函数极限存在，那么它的极限唯一；
2. 定理2（函数极限的局部有界性）：如果函数f(x)在x一>x0时极限存在且等于A，那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f（x）|≤M；
3. 定理3（函数极限的局部保号性）：如果函数f(x)在x一>x0时极限存在且等于A，且A>0（或A<0），那么存在常数δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，都有f(x)>0（或f(x)<0）。
4. 定理3’：如果函数f(x)在x一>x0时极限存在且等于A（A≠0），那么就存在着x0的某一去心邻域：
   
5. 定理3’推论： 如果在x0的某去心邻域内f(x)≥0（或f(x≤0），且函数f(x)在x一>x0时极限存在且等于A（A≠0），那么A≥0(或A≤0）
6. 定理4（函数极限与数列极限的关系）：如果函数f(x)在x一>x0时极限存在，{xn}为函数f（x）定义域内任一收敛于x0的数列，且满足xn≠x0(n∈N⁺)，那么相应的函数值{f(xn)}必收敛，且：
   

六、小结

本文介绍了数列极限及函数极限的概念和定义，以及二者的性质，数列本质上是函数的一种特殊形式，是自变量为整数的函数，但由于数列不连续，因此又有其特殊性。

关于极限的运算请参考《人工智能数学基础6：极限、极限运算、ε-δ语言、ε-N语言、级数和函数连续性》。

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