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马尔可夫模型

一个长度为N的序列 N 1 ， N 2 ， N 3 ， . . . N N N_{1}， N_{2}， N_{3}，...N_{N} N1​，N2​，N3​，...NN​，每个位置有k种可能的状态 S j ( 1 < = j < = k ) S_{j}(1<=j<=k) Sj​(1<=j<=k)，第t个位置的状态 q t q_{t} qt​ 取决于前t个位置的状态,概率表示为 p ( q t = S j ∣ q t − 1 = S i , q t − 2 = S k , . . . ) p(q_{t}=S_{j}|q_{t-1}=S_{i},q_{t-2}=S_{k},... ) p(qt​=Sj​∣qt−1​=Si​,qt−2​=Sk​,...)
例如天气的序列，晴朗，多云，阴天，雨天，晴朗。第n+1天的天气状态依赖于前n天的状态，该随机过程就是马尔可夫模型

隐马尔可夫模型

在马尔可夫模型中，每个状态代表了一种可观测事件，隐马尔可夫模型包含了一个与其对应的不可观测的隐藏状态。
例如有3个骰子，一个骰子有四个面称为D4，一个有6个面称为D6，还有一个有8个面称为D8。我们随机选择骰子投掷6次得到一个长度为6的序列，假设是 5，1，3，7，4，6。这是一个可观测序列，在隐马尔可夫模型中还有一个隐藏序列，在这个例子中可以是你每次选中的骰子序列，D6,D4,D4,D8,D6,D6，这个序列并不唯一，我们要做的就是找到联合概率最大的这么一个隐藏序列。

隐马尔科夫模型需要确定三个概率矩阵（概率值均用已有数据的频率代替）。
1.初始状态概率矩阵，所有统计序列第一个位置的状态的分布概率。通常记为 π = ( π 1 , π 2 , . . . , π k ) \pi=(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{k}) π=(π1​,π2​,...,πk​), π i \pi _{i} πi​表示初始状态为 S i S _{i} Si​的概率。
2.状态转移概率矩阵A，其中 a i j a_{ij} aij​是该矩阵的第i行第j列，表示某一时刻状态是 S i S_{i} Si​其下一状态是 S j S_{j} Sj​的概率，即状态 S i S_{i} Si​转向状态 S j S_{j} Sj​的概率。
3.输出观测概率矩阵B，各个隐藏状态下每个观测值的概率 B i j B_{ij} Bij​,表示第i个隐藏状态下第j种观测值的概率。（不好理解没关系，后边有分词的例子，就会很好理解~）

根据已有数据可以统计出这三个矩阵，即确定了一个HMM模型，就可以根据一个观测序列推测出其最大概率的隐藏序列。

HMM解决中文分词任务

中文分词任务就是给定一句汉语，将其中的词语分割开来。HMM其实也可以和分词任务联系起来，HMM中有一个隐藏序列，其实中文句子也可以给他设置一个隐藏序列，来表示分好词的结果。每个字对应一个隐藏状态，B代表这是一个词的开始位置，M代表这是一个词的中间位置(即不是开头也不是结尾)，E代表这是一个词的结束位置，S代表这个字单独成词。例如：
请添加图片描述

每一个字对应一个隐藏状态，利用HMM模型，根据给出的句子，得到其隐藏状态，显而易见，在隐藏状态是S和E的后边加上空格，则完成了分词任务。接下来讨论如何构建HMM模型。

首先需要有分好词的数据，例如这种格式的：
请添加图片描述
需要此数据集的私聊我，当然你也可以使用其他数据集。根据分好词的数据，生成与其对应的隐藏状态序列，例如这种：
请添加图片描述

首先我们需要生成三个概率矩阵，初始矩阵，转移矩阵与发射矩阵，对应上述HMM模型介绍时的三个概率矩阵。
1.初始矩阵 π \pi π，就是所有统计数据的隐藏状态的最开始位置的一个概率分布情况，显然每个隐藏状态的开始位置状态只能是B或者S，例如总共就十条数据，有八条数据隐藏状态是以B开头的，有两条数据是以S开头的，则初始矩阵为[B:0.8,S:0.2,M:0,E:0]

2.转移矩阵A，就是有某个状态转移到另一个状态的一个概率矩阵，假设BMES状态对应的索引是B:0 M:1 S:2 E:3，遍历每一行数据，假设某一个数据为(S BE SS BE),S后边接了一个B，则转移矩阵中 A 20 A_{20} A20​就需要+1，B矩阵所有位置均初始化为0，继续往后遍历,B后边接了一个E，则 A 03 A_{03} A03​就需要+1，一直往后遍历，直到遍历完所有统计数据。最终的A矩阵， A i j A_{ij} Aij​代表第i个状态转移到第j个状态的概率(用统计数据频率代替概率)

3.发射矩阵B，就是在每一个状态下，每一个字的概率。如同一个字，可能会在不同句子中对应隐藏状态不同，例如"天"这个字，“今天”，“天就对应的是E”，“天气”，"天"对应的就是B，对于某一个特定状态，比如B，在B状态对应的文字中，“我”这个字出现了3次，"你"这个字出现了2次，"他"这个字出现了5次，假设只出现了这三个字，则{B:{“我”:0.3，“你”:0.2，“他”:0.5},M:{…},S:{…},E:{…}},其他状态计算方式相同。则就得到了发射矩阵。
根据训练数据得到这三个矩阵，则训练完成

得到这三个矩阵后，我们就可以根据一个输入的句子，得到它的隐藏状态了。接下来详细介绍如何计算。

给定一个句子"今天天气真好"，共六个字，对应六个隐藏状态，其隐藏状态序列的所有可能的结果共有 4 6 4^{6} 46种（4种状态，6个位置），我们可以计算这 4 6 4^{6} 46种结果的可能概率，选取概率最大的那个当作隐藏状态。那么如何计算呢？就要用到前边算出的三个矩阵。
请添加图片描述
图中每两层之间都是全连接的，只画出了第一层与第二层之间的连接，后边就省略了。总共有 4 6 4^{6} 46个路径，计算出每条路径的概率即可。举个例子，计算图中红色箭头这条路径的概率，首先计算第一个状态是B的概率，就是初始矩阵中状态B的概率，然后下一个状态是E，然后找出转移矩阵中B转移到E的概率，然后找出发射矩阵中B状态下"今"这个字的概率，将这三个概率相乘就是BE的概率，后边还有路径没走完，还需继续连乘，接下来E后边是B，就需要再乘以转移矩阵中E转向B的概率，再乘以发射矩阵中E状态下"天"的概率，依次往后计算，到最后一个状态S，到此就计算完成这一条路径的联合概率，当计算完所有路径的概率后，就可以选择一个最优的路径。但是当句子长度变长后路径数会指数增加，计算效率低下，可以使用Viterbi算法来简化计算过程。

Viterbi(维特比)算法

请添加图片描述
如图中所示，第二个状态是B，总共有四条路径到达这里，在当前时刻，就可以计算出一个最优概率，将其他三条路径舍弃。当然第二个状态是M，前边也有四条路径，也可以计算出一个最优的，舍弃其他三条路径。第二层舍弃完之后如下图
请添加图片描述
继续向后计算，第三个状态是B，前边又会有从第二层引过来的四条线
请添加图片描述
计算这四条路径中的最优路径时，不仅仅只考虑第二层到第三层，例如第二层B到第三层B的这条路径，不仅仅只计算第二层的，还需考虑第一层的状态，第二层的B是由第一层的E过来的，则需计算EBB的概率，考虑第二层M到第三层B的时候，第二层的M是由第一层的B来的，则需计算BMB的概率，这样计算完四条路经的概率后选取一个最优的路线，假设计算完之后如下图所示
请添加图片描述

依次往后计算，直到最后一层，也是如此计算，倒数第二层到最后一层，也是只剩下四条线，最终只需计算这四条线（这四条线需要与前边的状态连接一同计算联合概率）的一个概率，选择一个最优路径，比如计算出倒数第二层B到最后一层E的概率最大，由倒数第二层的B往前推，可以唯一确定一条路径，这条路径就是最终隐藏状态。假设某个句子就四个字，最终的路径图可以如图所示
请添加图片描述

得到该句子的隐藏状态，在隐藏状态是E和S的后边加上一个空格，分词任务就完成了。

python代码实现HMM

import pickle
from tqdm import tqdm
import numpy as np
import os

def make_label(text_str):    # 从单词到label的转换, 如: 今天 ----> BE  麻辣肥牛: ---> BMME  的 ---> S
    text_len = len(text_str)
    if text_len == 1:
        return "S"
    return "B" + "M" * (text_len - 2) + "E"  # 除了开头是 B, 结尾是 E，中间都是Ｍ


def text_to_state(file="all_train_text.txt"):  # 将原始的语料库转换为 对应的状态文件

    if os.path.exists("all_train_state.txt"):  # 如果存在该文件, 就直接退出
        return
    all_data = open(file, "r", encoding="utf-8").read().split("\n")  # 打开文件并按行切分到  all_data 中 , all_data  是一个list
    with open("all_train_state.txt", "w", encoding="utf-8") as f:    #  代开写入的文件
        for d_index, data in tqdm(enumerate(all_data)):              # 逐行 遍历 , tqdm 是进度条提示 , data 是一篇文章, 有可能为空
            if data:                                                 #  如果 data 不为空
                state_ = ""
                for w in data.split(" "):                            # 当前 文章按照空格切分, w是文章中的一个词语
                    if w:                                            # 如果 w 不为空
                        state_ = state_ + make_label(w) + " "        # 制作单个词语的label
                if d_index != len(all_data) - 1:                     # 最后一行不要加 "\n" 其他行都加 "\n"
                    state_ = state_.strip() + "\n"                   # 每一行都去掉 最后的空格
                f.write(state_)                                      # 写入文件, state_ 是一个字符串


# 定义 HMM类, 其实最关键的就是三大矩阵
class HMM:
    def __init__(self,file_text = "all_train_text.txt",file_state = "all_train_state.txt"):
        self.all_states = open(file_state, "r", encoding="utf-8").read().split("\n")[:200]   # 按行获取所有的状态
        self.all_texts = open(file_text, "r", encoding="utf-8").read().split("\n")[:200]     # 按行获取所有的文本
        self.states_to_index = {"B": 0, "M": 1, "S": 2, "E": 3}                        # 给每个状态定义一个索引, 以后可以根据状态获取索引
        self.index_to_states = ["B", "M", "S", "E"]                                    # 根据索引获取对应状态
        self.len_states = len(self.states_to_index)                                    # 状态长度 : 这里是4

        self.init_matrix = np.zeros((self.len_states))                                 # 初始矩阵 : 1 * 4 , 对应的是 BMSE
        self.transfer_matrix = np.zeros((self.len_states, self.len_states))            # 转移状态矩阵:  4 * 4 ,

        # 发射矩阵, 使用的 2级 字典嵌套
        # # 注意这里初始化了一个  total 键 , 存储当前状态出现的总次数, 为了后面的归一化使用
        self.emit_matrix = {"B":{"total":0}, "M":{"total":0}, "S":{"total":0}, "E":{"total":0}}

    # 计算 初始矩阵
    def cal_init_matrix(self, state):
        self.init_matrix[self.states_to_index[state[0]]] += 1  # BMSE 四种状态, 对应状态出现 1次 就 +1

    # 计算转移矩阵
    def cal_transfer_matrix(self, states):
        sta_join = "".join(states)        # 状态转移 从当前状态转移到后一状态, 即 从 sta1 每一元素转移到 sta2 中
        sta1 = sta_join[:-1]
        sta2 = sta_join[1:]
        for s1, s2 in zip(sta1, sta2):   # 同时遍历 s1 , s2
            self.transfer_matrix[self.states_to_index[s1],self.states_to_index[s2]] += 1

    # 计算发射矩阵
    def cal_emit_matrix(self, words, states):
        for word, state in zip("".join(words), "".join(states)):  # 先把words 和 states 拼接起来再遍历, 因为中间有空格
            self.emit_matrix[state][word] = self.emit_matrix[state].get(word,0) + 1
            self.emit_matrix[state]["total"] += 1   # 注意这里多添加了一个  total 键 , 存储当前状态出现的总次数, 为了后面的归一化使用

    # 将矩阵归一化
    def normalize(self):
        self.init_matrix = self.init_matrix/np.sum(self.init_matrix)
        self.transfer_matrix = self.transfer_matrix/np.sum(self.transfer_matrix,axis = 1,keepdims = True)
        self.emit_matrix = {state:{word:t/word_times["total"]*1000 for word,t in word_times.items() if word != "total"} for state,word_times in self.emit_matrix.items()}

    # 训练开始, 其实就是3个矩阵的求解过程
    def train(self):
        if os.path.exists("three_matrix.pkl"):  # 如果已经存在参数了 就不训练了
                self.init_matrix, self.transfer_matrix, self.emit_matrix =  pickle.load(open("three_matrix.pkl","rb"))
                return
        for words, states in tqdm(zip(self.all_texts, self.all_states)):  # 按行读取文件, 调用3个矩阵的求解函数
            words = words.split(" ")            # 在文件中 都是按照空格切分的
            states = states.split(" ")
            self.cal_init_matrix(states[0])     # 计算三大矩阵
            self.cal_transfer_matrix(states)
            self.cal_emit_matrix(words, states)
        self.normalize()      # 矩阵求完之后进行归一化
        pickle.dump([self.init_matrix, self.transfer_matrix, self.emit_matrix], open("three_matrix.pkl", "wb")) # 保存参数

def viterbi_t( text, hmm):
    states = hmm.index_to_states
    emit_p = hmm.emit_matrix
    trans_p = hmm.transfer_matrix
    start_p = hmm.init_matrix
    V = [{}] #记录某时刻在某个状态结束的一个联合概率
    path = {} #记录当前最优的路径 path[y]表示以y结束的路径
	
	#先考虑第一个位置
    for y in states:
        V[0][y] = start_p[hmm.states_to_index[y]] * emit_p[y].get(text[0], 0)
        path[y] = [y]
    for t in range(1, len(text)):
        V.append({})
        newpath = {}

        # 检验训练的发射概率矩阵中是否有该字
        neverSeen = text[t] not in emit_p['S'].keys() and \
                    text[t] not in emit_p['M'].keys() and \
                    text[t] not in emit_p['E'].keys() and \
                    text[t] not in emit_p['B'].keys()
        for y in states:
            emitP = emit_p[y].get(text[t], 0) if not neverSeen else 1.0  # 设置未知字单独成词
            temp = []
            for y0 in states:
                if V[t - 1][y0] > 0:
                    temp.append((V[t - 1][y0] * trans_p[hmm.states_to_index[y0],hmm.states_to_index[y]] * emitP, y0))
            (prob, state) = max(temp)
          
            V[t][y] = prob
            newpath[y] = path[state] + [y]
        path = newpath


    (prob, state) = max([(V[len(text) - 1][y], y) for y in states])  # 求最大概念的路径

    result = "" # 拼接结果
    for t,s in zip(text,path[state]):
        result += t
        if s == "S" or s == "E" :  # 如果是 S 或者 E 就在后面添加空格
            result += " "
    return result


if __name__ == "__main__":
    text_to_state()
    text = "虽然一路上队伍里肃静无声"

    hmm = HMM()
    hmm.train()
    result = viterbi_t(text,hmm)

    print(result)
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