一、引言

在《人工智能数学基础–不定积分1：概念与性质》介绍了必须熟记的十三个基本积分公式及十一个扩展公式，利用这些公式以及不定积分的加法以及数乘性质，可以进行部分积分的计算，但非常有限，因此有必要进一步研究不定积分的计算。

本文介绍利用中间变量代换，将函数化为复合函数，利用复合函数求积分，相关方法称为换元积分法，简称换元法。

换元法分为两类，第一类是通过形如u=φ（x）变量代换后将函数化为某复合函数导数的形式，第二类是将x=ψ（t）进行变量代换，将代换后的函数化为某复合函数导数的形式。

二、第一类换元法

定理：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：

由此定理可见，虽然∫f[ φ(x]φ’(x)dx是一个整体记号，但从形式上看，可以认为是方便应用积分表进行计算的积分：∫f[φ(x]dφ(x)。

因此第一类换元法的核心思想是将∫f(x)dx形式的积分表达式中的f(x)dx化为φ(x)φ’(x)dx。

书中案例很多，挑3个有代表性稍微复杂的案例，以供大家理解：

一般地，对于积分∫f(ax+b)dx (a≠0)，总可作变换u=ax+b，把其化为：

一般地，对于sin^2k+1x cosⁿx或sinⁿx cos^2k+1x型的函数积分，总可以作变换u=sinx或u=cosx，求得结果。

类似地，对于tanⁿx sec^2kx或tan^2k-1x secⁿx型的函数积分，总可以作变换u=tanx或u=secx，求得结果。

一般地，对于sin^2mx cos²ⁿx型的函数积分，总可以利用三角恒等式sin²x=(1-cos2x)/2或cos²x=(1+cos2x)/2作变换化成cos2x的多项式，然后用上例的方法求得结果。类似地还可以利用和差化积或积化和差等三角恒等式进行变换。

三、第二类换元法

定理：设x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ’(t)≠0，又设f[ψ(t)]ψ’(t)具有原函数，则有换元公式：

其中ψ^-1(t)是x=ψ(t)的反函数。

说明：

1. 这一公式的证明可以对公式（2-2）右边的被积函数求导即可证明；
2. 与第一类换元公式的区别是需要用到一个中间变换，将x变为x为因变量其他引入参数如t为自变量的函数；
3. 求出基于t的原函数后，要用t到x的反函数代换回去。

案例：

下面看个书中的案例：

注意：老猿在这里思考了一下，为什么能用x=asint？这是因为a² - x²决定了x²∈[0,a²]，因此对于满足该要求的x都可以用asint来表达。

从上面的例子可以看出（受文字输入影响，下面的描述中根号用✓表示）：

• 如果被积函数含有✓a² -x²，可以作代换x=asin t 化去根式。

类似地：

• 如果被积函数含有✓x²+a² ，可以作代换x=atan t 化去根式;
• 如果被积函数含有✓x²-a² ，可以作代换x=±asec t 化去根式。

但具体解题时要分析被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换，不要拘泥于上述的变量代换。

四、倒代换

除了上面介绍的2类代换外，还有一种用于消去分母中自变量的倒代换。

五、小结

本文介绍了三种换元法求不定积分的方法及案例，但具体解题时要分析被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换，不要拘泥于特定的变量代换。

说明：

本文内容是老猿学习同济版高数的总结，有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料，或对文章内有有疑问咨询的，请扫博客首页左边二维码加微信公号，根据加微信公号后的自动回复操作。

更多人工智能数学基础请参考专栏《人工智能数学基础》。

写博不易，敬请支持：

如果阅读本文于您有所获，敬请点赞、评论、收藏，谢谢大家的支持！

关于老猿的付费专栏

1. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9607725.html 使用PyQt开发图形界面Python应用》专门介绍基于Python的PyQt图形界面开发基础教程，对应文章目录为《 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107580932 使用PyQt开发图形界面Python应用专栏目录》；
2. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10232926.html moviepy音视频开发专栏 )详细介绍moviepy音视频剪辑合成处理的类相关方法及使用相关方法进行相关剪辑合成场景的处理，对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107574583 moviepy音视频开发专栏文章目录》；
3. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10581071.html OpenCV-Python初学者疑难问题集》为《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的伴生专栏，是笔者对OpenCV-Python图形图像处理学习中遇到的一些问题个人感悟的整合，相关资料基本上都是老猿反复研究的成果，有助于OpenCV-Python初学者比较深入地理解OpenCV，对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/109713407 OpenCV-Python初学者疑难问题集专栏目录 》
4. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10762553.html Python爬虫入门 》站在一个互联网前端开发小白的角度介绍爬虫开发应知应会内容，包括爬虫入门的基础知识，以及爬取CSDN文章信息、博主信息、给文章点赞、评论等实战内容。

前两个专栏都适合有一定Python基础但无相关知识的小白读者学习，第三个专栏请大家结合《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python图形图像处理 》的学习使用。

对于缺乏Python基础的同仁，可以通过老猿的免费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9831699.html 专栏：Python基础教程目录）从零开始学习Python。

如果有兴趣也愿意支持老猿的读者，欢迎购买付费专栏。

老猿Python，跟老猿学Python！

☞ ░ 前往老猿Python博文目录 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython ░