最近需要对曲线的曲率做一个粗略的估计，在此记录下。其实计算曲率就是为了求这段弧长对应的半径，也就是说，我们把曲线看成圆的弧长就行，那么问题就简单了。

一、实现原理

1.1、计算点到直线的距离——海伦公式

如下图所示，要计算A到CB的长度。

设$\Delta$ABC的三条边分别为a,b,c,那么海伦公式计算面积S如下：
$$\begin{gathered} S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ 其中:p=\frac{1}{2}(a+b+c) \end{gathered}$$
将p带入海伦公式，得：
$$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}$$
如下图所示，AD是A到直线BC的距离，即是AD是$\Delta$ABC边BC上的高

$$S=\frac{a\ast AD}{2}$$
即：
$$\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}=\frac{a\ast AD}{2}$$

合并可以得：
$$AD=\frac{1}{2a}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}$$

1.2、弓高和弦长计算半径

如图所示，我们已知了弦长L和弓高H,需要求R。我们可以根据三角形得勾股定理求得。

对于直角三角形OPQ，OP=R-H，OQ=R，PQ=$\frac{L}{2}$,那么计算如下：
$$\begin{gathered} R^2=(\frac{L}{2}{)}^2+(R-H{)}^2 \\ {R}^2=\frac{L^4}{4}+R^2-2RH+H^2 \\ 2RH=\frac{L^4}{4}+H^2 \\ R=\frac{\frac{L^2}{4}+H^2}{2H} \end{gathered}$$

二、python实现曲率计算

import numpy as np
def get_arc_curve(pts):
	'''
	获取弧度值
	:param pts:
	:return:
	'''

	# 计算弦长
	start = np.array(pts[0])
	end = np.array(pts[len(pts) - 1])
	l_arc = np.sqrt(np.sum(np.power(end - start, 2)))

	# 计算弧上的点到直线的最大距离
	# 计算公式：\frac{1}{2a}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}
	a = l_arc
	b = np.sqrt(np.sum(np.power(pts - start, 2), axis=1))
	c = np.sqrt(np.sum(np.power(pts - end, 2), axis=1))
	dist = np.sqrt((a + b + c) * (a + b - c) * (a + c - b) * (b + c - a)) / (2 * a)
	h = dist.max()

	# 计算曲率
	r = ((a * a) / 4 + h * h) / (2 * h)

	return r


if __name__ == '__main__':
	x = np.linspace(1, 100, 99).astype(np.int64)
	y = (x ** 2)
	xy = list(zip(x, y))  # list of points in 2D space
	print(get_arc_curve(xy))

参考连接：

有弦长弓高怎么算半径

【编程】快速计算点到直线距离，不用点斜式

OpenCV：简单计算曲线弧度-弓形弧度