关系数据库的关系代数运算符有8种，分为两大类，如下表所示：

分类	运算符	含义
传统关系运算符	$\cup$	并
	$-$	差
	$\cap$	交
	$\times$	笛卡尔积
专用关系运算符	σ	选择
	∏	投影
	⋈	连接
	÷	除

1 传统的关系运算

传统的集合运算是二元运算，包括并、差、交、笛卡尔积4种运算。设有两关系R、S。

1.1 并 union

关系R与关系S的并记作： R ∪ S = { t   ∣   t ∈ R ∨ t ∈ S } R\cup S=\{t\ |\ t\in R \lor t\in S\} R∪S={t ∣ t∈R∨t∈S}即合并R和S所有元组

1.2 交 intersection

关系R与关系S的交记作： R ∩ S = { t   ∣   t ∈ R ∧ t ∈ S } R\cap S=\{t\ |\ t\in R \land t\in S\} R∩S={t ∣ t∈R∧t∈S}关系的交也可用差来表示：$$R\cap S=R-(R-S)$$即取出R与S中共有的元组

1.3 差 except

关系R与关系S的差记作： R − S = { t   ∣   t ∈ R ∧ t ∉ S } R- S=\{t\ |\ t\in R \land t\notin S\} R−S={t ∣ t∈R∧t∈/​S}即去掉R中属于S的元素

1.4 笛卡尔积 cartesian product

关系R与关系S的并记作： R × S = { t R t S ⌢   ∣   t R ∈ R ∧ t S ∈ S } R\times S=\{\overset{\large\frown}{t_Rt_S}\ |\ t_R\in R \land t_S\in S\} R×S={tR​tS​⌢​ ∣ tR​∈R∧tS​∈S}这里的笛卡尔积指的是广义笛卡尔积，对元组进行笛卡尔积有点类似于小学数学课上学过的握手游戏。

对于$R\times S$来说，表示每个R中的元组都要与S中的元组连接一次

1.5 传统关系运算举例

设$R$:

color	pattern	size
红	A	5
红	B	10
蓝	B	5

$S$:

color	pattern	size
红	B	10
红	C	10
蓝	B	5

则有：

• $R$与$S$的并$R\cup S$:

color	pattern	size
红	A	5
红	B	10
蓝	B	5
红	C	10

• $R$与$S$的交$R\cap S$:

color	pattern	size
红	B	10
蓝	B	5

• $R$与$S$的差$R-S$:

color	pattern	size
红	A	5

• $R$与$S$的笛卡尔积$R\times S$：

R.color	R.pattern	R.size	S.color	S.pattern	S.size
红	A	5	红	B	10
红	A	5	红	C	10
红	A	5	蓝	B	5
红	B	10	红	B	10
红	B	10	红	C	10
红	B	10	蓝	B	5
蓝	B	5	红	B	10
蓝	B	5	红	C	10
蓝	B	5	蓝	B	5

2 专用的关系运算

专用的关系运算符包括选择、投影、连接、除运算

在具体介绍运算符之前为了方便表达，先引入几个符号：

• $R$：关系。 R = { r 1 , r 2 , . . . , r n } R=\{r_1,r_2,...,r_n\} R={r1​,r2​,...,rn​}，其中$r_i$表示$R$中的列。类似的，$S$等符号也代表一个关系
• $t$：元组。$t$代表$R$的某一行，称$t$为元组。
• $t[r_i]$：分量。$t[r_i]$表示$t$行中$r_i$列的值，称$t[r_i]$为分量。
• $Z_{t[r_i]}$：象集。$Z_{t[r_i]}$表示$t$行中除$r_i$列外其他列的值，称$Z_{t[r_i]}$为象集。
• $\theta$：比较运算符。比较运算符有6种，分别是$=$、$>$、$\ge$、$<$、$\le$、$<>$

2.1 选择 selection

选择关系运算记作： σ r i θ t [ r i ] ( R ) = {   t   ∣   t ∈ R ∧ r i θ t [ r i ] = t r u e } \sigma_{r_i\theta t[r_i]}(R)=\{\ t\ |\ t\in R\land r_i\theta t[r_i]=true\} σri​θt[ri​]​(R)={ t ∣ t∈R∧ri​θt[ri​]=true}即取出$R$表中$r_i$列的值与$t[r_i]$具有$\theta$关系的行
例如：
${\sigma }_{Sage<20}(Student)$表示取出$Student$表中$Sage$列值小于数值20的行
${\sigma }_{Sname{=}^{\prime }李{勇}^{\prime }}(Student)$表示取出$Student$表中$Sname$列值等于字符串李勇的行

2.2 投影 projection

投影关系运算记作： ∏   r i ( R ) = { t [ r i ]   ∣   t ∈ R } \prod\ _{r_i}(R)=\{t[r_i]\ |\ t\in R\} ∏ ri​​(R)={t[ri​] ∣ t∈R}即取出$R$表中的$r_i$列
例如：
$\prod {}_{Sage}(Student)$表示从表$Student$取出$Sage$列形成新的关系
$\prod {}_{Sage,Sname}(Student)$表示从表$Student$取出$Sage$和$Sname$列形成新的关系

2.3 连接 join

连接关系运算记作： r i θ r j R ⋈ S = { t R t S   ∣ t R ∈ R ∧ t S ∈ R ∧ t R [ r i ] θ t S [ r j ]   ⌢ } \overset{R\Join S}{_{r_{i}\theta r_{j}}}=\{\overset{\large\frown}{t_Rt_S\ |t_R\in R \land t_S\in R\land t_R[r_i]\theta t_S[r_j]\ }\} ri​θrj​​R⋈S​={tR​tS​ ∣tR​∈R∧tS​∈R∧tR​[ri​]θtS​[rj​] ⌢​}即选取$R$与$S$的笛卡尔积中$t_R[r_i]$与$t_S[r_j]$满足关系$\theta$的行

连接有四种特殊形式：

• 非等值连接。就是指$\theta$不为等号的连接，例如$\stackrel{R\bowtie S}{{}_{r_i<r_j}}$表示连接满足$R.r_i<S.r_j$关系的$R$与$S$中的元组
• 等值连接。就是指$\theta$为等号的连接，例如$\stackrel{R\bowtie S}{{}_{r_i=r_j}}$表示连接满足$R.r_i=S.r_j$关系的$R$与$S$中的元组
• 自然连接。自然连接是一种特殊的等值连接，就是$r_i$与$r_j$的属性名一致且值相等的等值连接，并在连接结果中去掉重复列，而在一般的等值连接中只需要满足$r_i$与$r_j$的值相等即可，记作$R\bowtie S$。
• 外连接。外连接是一种特殊的自然连接，在自然连接的过程中，若连接后元组里的某个属性出现Null值就会舍去该元组，而外连接则会保留该元组。外连接分为三种：
• 1、外连接。保留两边关系自然连接后出现Null值属性的元组，记作$R:\bowtie :S$
• 2、左外连接。保留左边关系自然连接后出现Null值属性的元组，记作$R:\bowtie S$
• 3、右外连接。保留右边关系自然连接后出现Null值属性的元组，记作$R\bowtie :S$

2.4 除 division

除关系运算记作： R ÷ S = {   t R [ r i ]   ∣   t R ∈ R ∧ ∏   r j ( S ) ⊆ r j   t R [ r i ]   } R\div S=\{\ t_R[r_i]\ |\ t_R\in R\land\prod\ _{r_j}(S)\subseteq r_{j\ t_R[r_i]}\ \} R÷S={ tR​[ri​] ∣ tR​∈R∧∏ rj​​(S)⊆rj tR​[ri​]​ }即取出$R$中使$R.r_j$完全等于$S.r_j$的$R.r_i$元组
例如：
$\prod {}_{Sname,Sage}(R)÷\prod {}_{Sage}S$表示取$R$投影中使$R.Sage$完全等于$S.age$的$R.name$元组，形成新的关系

2.5 专用关系运算举例

设$R$:

color	pattern	size
红	A	5
红	B	6
蓝	C	8
蓝	D	12

$S$:

pattern	weight
A	3
B	7
C	10
C	2
E	2

• $R$的选择，${\sigma }_{color{=}^{\prime }{红}^{\prime }}(R)$，取出$R$表中$color$列值为字符串’红’的行形成新的关系：

color	pattern	size
红	A	5
红	B	6

• $R$的投影，$\prod {}_{color,size}(R)$，从表$R$取出$color,size$列形成新的关系:

color	size
红	5
红	6
蓝	8
蓝	12

• $R$与$S$的连接

非等值连接，$\stackrel{R\bowtie S}{{}_{size<weight}}$，连接满足$size<weight$关系的$R$与$S$中的元组

color	R.pattern	size	S.pattern	weight
红	A	5	B	7
红	A	5	C	10
红	B	6	B	7
红	B	6	C	10
蓝	C	8	C	10

等值连接，$\stackrel{R\bowtie S}{{}_{R.pattern=S.pattern}}$，连接满足$R.pattern=S.pattern$关系的$R$与$S$中的元组

color	R.pattern	size	S.pattern	weight
红	A	5	A	3
红	B	6	B	7
蓝	C	8	C	10
蓝	C	8	C	2

自然连接，$R\bowtie S$，连接$R$与$S$中同名属性值相等的元组：

color	pattern	size	weight
红	A	5	3
红	B	6	7
蓝	C	8	10
蓝	C	8	2

外连接，$R:\bowtie :S$，保留两边关系自然连接后出现Null值属性的元组：

color	pattern	size	weight
红	A	5	3
红	B	6	7
蓝	C	8	10
蓝	C	8	2
蓝	D	12	null
null	E	null	2

左外连接，$R:\bowtie S$，保留左边关系自然连接后出现Null值属性的元组：

color	pattern	size	weight
红	A	5	3
红	B	6	7
蓝	C	8	10
蓝	C	8	2
蓝	D	12	null

右外连接，$R\bowtie :S$，保留右边关系自然连接后出现Null值属性的元组：

color	pattern	size	weight
红	A	5	3
红	B	6	7
蓝	C	8	10
蓝	C	8	2
null	E	null	2

• $R$的除运算
  设有除关系$K$

color	size
红	5
红	6

则$R÷K$表示取出$R$中使$R.color$完全等于$S.color$、$R.size$完全等于$S.size$的$R.partten$元组

partten
A