参考书籍：《大数据：互联网大规模数据挖掘与分布式处理》（第二版）

原版英文书籍：Mining of Massive Datasets

注：答案为本人自己做的，并非标准答案，仅供参考。
如有错误，请私信我，我将及时修改。

《大数据：互联网大规模数据挖掘与分布式处理》（第二版）第九章习题答案

注：本书包含大量习题，较难的习题或习题中较难的部分都会用！标记，最难的习题用！！标记。

习题9.2.1

向量A，B，C：

向量	处理器速度	磁盘大小	内存大小
A	3.06	500α	6β
B	2.68	320α	4β
C	2.92	640α	6β

a)

向量组合	夹角余弦
A-B	$\frac{8.2008+160000{\alpha }^2+24{\beta }^2}{\sqrt{3.06^2+250000{\alpha }^2+36{\beta }^2}\ast \sqrt{2.68^2+102400{\alpha }^2+16{\beta }^2}}$
A-C	$\frac{8.9352+320000{\alpha }^2+36{\beta }^2}{\sqrt{3.06^2+250000{\alpha }^2+36{\beta }^2}\ast \sqrt{2.92^2+409600{\alpha }^2+36{\beta }^2}}$
B-C	$\frac{7.8256+204800{\alpha }^2+24{\beta }^2}{\sqrt{2.68^2+102400{\alpha }^2+16{\beta }^2}\ast \sqrt{2.92^2+409600{\alpha }^2+36{\beta }^2}}$

b)

若α=β=1，则：

向量组合	夹角余弦	夹角
A-B	0.999997	0.1403°
A-C	0.999995	0.1812°
B-C	0.999988	0.2807°

c)

若α=0.01，β=0.5，则：

向量组合	夹角余弦	夹角
A-B	0.990881	7.7436°
A-C	0.991555	7.4515°
B-C	0.969178	14.2623°

!(d)

第一分量的平均值=(3.06+2.68+2.92)/3=2.886667，放缩变换因子为1。

第二分量的平均值=(500+320+640)/3=486.6667，放缩变换因子α=2.886667*1/486.6667=0.0059。

第二分量的平均值=(6+4+6)/3=5.333333，放缩变换因子β=2.886667*1/5.333333=0.5413。

则：

向量组合	夹角余弦	夹角
A-B	0.9899	8.1704°
A-C	0.9916	7.4542°
B-C	0.9693	14.2265°

习题9.2.2

(a)

归一化前：

向量	处理器速度	磁盘大小	内存大小
A	3.06	500	6
B	2.68	320	4
C	2.92	640	6

归一化后：

向量	处理器速度	磁盘大小	内存大小
A	0.1733	13.3333	0.6667
B	-0.2067	-166.6667	-1.3333
C	0.0333	153.3333	0.6667

!!(b)

不会写，按放缩变换因子均为1来算：

向量组合	夹角余弦	夹角
A-B	0.9989	2.7158°
A-C	-0.9991	177.5023°
B-C	-0.999993	179.78°

习题9.2.3

(a)

计算机	归一化前	归一化后
A	4	0.3333
B	2	-1.6667
C	5	1.3333

(b)

评分为0.3333、-1.6667和1.3333的平均值0。

习题9.3.1

效用矩阵：

用户	a	b	c	d	e	f	g	h
A	4	5		5	1		3	2
B		3	4	3	1	2	1
C	2		1	3		4	5	3

a)

组合	Jaccard距离
A-B	1/2
A-C	5/8
B-C	1/2

b)

组合	余弦距离
A-B	0.6010
A-C	0.5311
B-C	0.5139

c)

将评分3到5看成1，将评分1和评分2还有空白看成0。效用矩阵变为：

用户	a	b	c	d	e	f	g	h
A	1	1	0	1	0	0	1	0
B	0	1	1	1	0	0	0	0
C	0	0	0	1	0	1	1	1

组合	Jaccard距离
A-B	0
A-C	0
B-C	0

d)

组合	余弦距离
A-B	0.5774
A-C	0.5
B-C	0.2887

e)

效用矩阵变为：

用户	a	b	c	d	e	f	g	h
A	0.6667	1.6667		1.6667	-2.3333		-0.3333	-1.3333
B		0.6667	1.6667	0.6667	-1.3333	-0.3333	-1.3333
C	-1		-2	0		1	2	0

f)

组合	余弦距离
A-B	0.5843
A-C	-0.1155
B-C	-0.7396

习题9.3.2

a)

将评分3到5看成1，将评分1和评分2还有空白看成0。效用矩阵变为：

用户	a	b	c	d	e	f	g	h
A	1	1	0	1	0	0	1	0
B	0	1	1	1	0	0	0	0
C	0	0	0	1	0	1	1	1

b)

用户	簇1（f、h）	簇2（a、e）	簇3（b、c）	簇4（d、g）
A	0	1/2	1/2	1
B	0	0	1	1/2
C	1	0	0	1

c)

组合	余弦距离
A-B	0.7303
A-C	0.5774
B-C	0.3162

习题9.4.1

矩阵M：

$$\left[\begin{array}{ccccc}5& 2& 4& 4& 3\\ 3& 1& 2& 4& 1\\ 2& & 3& 1& 4\\ 2& 5& 4& 3& 5\\ 4& 4& 5& 4& \end{array}\right]$$

(a) u₃₂

新的U、V矩阵如下所示：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\\ 1& z\\ 1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}2& 2& 2& 2& 2\\ 2& 2& 2& 2& 2\\ z+1& z+1& z+1& z+1& z+1\\ 2& 2& 2& 2& 2\\ 2& 2& 2& 2& 2\end{array}\right]$$

注意到矩阵乘积的结果中只有第三行才有变化，于是，当将UV和M进行比较时，唯一的RMSE变化来自第三行。

第三行对平方和计算的贡献是：

$(2-(z+1){)}^2+(3-(z+1){)}^2+(1-(z+1){)}^2+(4-(z+1){)}^2$

该表达式可以简化为：

$(1-z{)}^2+(2-z{)}^2+z^2+(3-z{)}^2$

令其导数为0，于是有：

$-2(1-z)-2(2-z)+2z-2(3-z)=0$

对上式化简有：

$-2(6-4z)=0$

于是，$z=1.5$。

(b) v₁₄

注：书上写的是v₄₁，我觉得不对，是打印错误，下面按v₁₄计算。

新的U、V矩阵如下所示：

$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\\ 1& 1\\ 1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& y& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}2& 2& 2& y+1& 2\\ 2& 2& 2& y+1& 2\\ 2& 2& 2& y+1& 2\\ 2& 2& 2& y+1& 2\\ 2& 2& 2& y+1& 2\end{array}\right]$$

注意到矩阵乘积的结果中只有第四列才有变化，于是，当将UV和M进行比较时，唯一的RMSE变化来自第四列。

第四列对平方和计算的贡献是：

$(4-(y+1){)}^2+(4-(y+1){)}^2+(1-(y+1){)}^2+(3-(y+1){)}^2+(4-(y+1){)}^2$

该表达式可以简化为：

$(3-y{)}^2+(3-y{)}^2+y^2+(2-y{)}^2+(3-y{)}^2$

令其导数为0，于是有：

$-2(3-y)-2(3-y)+2y-2(2-y)-2(3-y)=0$

对上式化简有：

$-2(11-5y)=0$

于是，$y=2.2$。

习题9.4.2

矩阵M：

$$\left[\begin{array}{ccccc}5& 2& 4& 4& 3\\ 3& 1& 2& 4& 1\\ 2& & 3& 1& 4\\ 2& 5& 4& 3& 5\\ 4& 4& 5& 4& \end{array}\right]$$

对U、V的初始值都设为相同值x，新的U、V矩阵如下所示：

$$\left[\begin{array}{cc}x& x\\ x& x\\ x& x\\ x& x\\ x& x\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccccc}x& x& x& x& x\\ x& x& x& x& x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}2x^2& 2x^2& 2x^2& 2x^2& 2x^2\\ 2x^2& 2x^2& 2x^2& 2x^2& 2x^2\\ 2x^2& 2x^2& 2x^2& 2x^2& 2x^2\\ 2x^2& 2x^2& 2x^2& 2x^2& 2x^2\\ 2x^2& 2x^2& 2x^2& 2x^2& 2x^2\end{array}\right]$$

$$M-UV=\left[\begin{array}{ccccc}5-2x^2& 2-2x^2& 4-2x^2& 4-2x^2& 3-2x^2\\ 3-2x^2& 1-2x^2& 2-2x^2& 4-2x^2& 1-2x^2\\ 2-2x^2& & 3-2x^2& 1-2x^2& 4-2x^2\\ 2-2x^2& 5-2x^2& 4-2x^2& 3-2x^2& 5-2x^2\\ 4-2x^2& 4-2x^2& 5-2x^2& 4-2x^2& \end{array}\right]$$

求M-NV的每一个元素的平方和，除以23再开方，得到RMSE。

当RMSE取得最小值时，x即为所求，为1.2769。

求解程序：

syms x 

F = sqrt((3*(1-2*x^2)^2+4*(2-2*x^2)^2+4*(3-2*x^2)^2+8*(4-2*x^2)^2+4*(5-2*x^2)^2)/23);

Feq = diff(F);

Feq=@(x)eval(Feq);

[x,fval,exitflag] = fzero(Feq,rand())

习题9.4.3

矩阵M：

$$\left[\begin{array}{ccccc}5& 2& 4& 4& 3\\ 3& 1& 2& 4& 1\\ 2& & 3& 1& 4\\ 2& 5& 4& 3& 5\\ 4& 4& 5& 4& \end{array}\right]$$

a)

重新考虑u₁₁的值，新的U、V矩阵如下所示：

$$\left[\begin{array}{cc}x& 1\\ 1& 1\\ 1.178& 1\\ 1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccccc}1.617& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1.617x+1& x+1& x+1& x+1& x+1\\ 2.617& 2& 2& 2& 2\\ 1.905& 2.178& 2.178& 2.178& 2.178\\ 2.617& 2& 2& 2& 2\\ 2.617& 2& 2& 2& 2\end{array}\right]$$

注意到矩阵乘积的结果中只有第一行才有变化，于是，当将UV和M进行比较时，唯一的RMSE变化来自第一行。

第一行对平方和计算的贡献是：

$(5-(1.617x+1){)}^2+(2-(x+1){)}^2+(4-(x+1){)}^2+(4-(x+1){)}^2+(3-(x+1){)}^2$

该表达式可以简化为：

$(4-1.617x{)}^2+(1-x{)}^2+(3-x{)}^2+(3-x{)}^2+(2-x{)}^2$

令其导数为0，于是有：

$-2(4-1.617x)-2(1-x)-2(3-x)-2(3-x)-2(2-x)=0$

对上式化简有：

$-2(13-5.617x)=0$

于是，$x=2.314$。

b)

考虑u₅₂的值，新的U、V矩阵如下所示：

$$\left[\begin{array}{cc}2.314& 1\\ 1& 1\\ 1.178& 1\\ 1& 1\\ 1& x\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccccc}1.617& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}4.7417& 3.314& 3.314& 3.314& 3.314\\ 2.617& 2& 2& 2& 2\\ 1.905& 2.178& 2.178& 2.178& 2.178\\ 2.617& 2& 2& 2& 2\\ x+1.617& x+1& x+1& x+1& x+1\end{array}\right]$$

注意到矩阵乘积的结果中只有第五行才有变化，于是，当将UV和M进行比较时，唯一的RMSE变化来自第五行。

第五行对平方和计算的贡献是：

$(4-(x+1.617){)}^2+(4-(x+1){)}^2+(5-(x+1){)}^2+(4-(x+1){)}^2$

该表达式可以简化为：

$(2.383-x{)}^2+(3-x{)}^2+(4-x{)}^2+(3-x{)}^2$

令其导数为0，于是有：

$-2(2.383-x)-2(3-x)-2(4-x)-2(3-x)=0$

对上式化简有：

$-2(12.383-4x)=0$

于是，$x=3.096$。

c)

考虑v₂₂的值，新的U、V矩阵如下所示：

$$\left[\begin{array}{cc}2.314& 1\\ 1& 1\\ 1.178& 1\\ 1& 1\\ 1& 3.096\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccccc}1.617& 1& 1& 1& 1\\ 1& x& 1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}4.742& x+2.314& 3.314& 3.314& 3.314\\ 2.617& x+1& 2& 2& 2\\ 1.905& x+1.178& 2.178& 2.178& 2.178\\ 2.617& x+1& 2& 2& 2\\ 4.713& 3.096x+1& 4.096& 4.096& 4.096\end{array}\right]$$

注意到矩阵乘积的结果中只有第2列才有变化，于是，当将UV和M进行比较时，唯一的RMSE变化来自第2列。

第2列对平方和计算的贡献是：

$(2-(x+2.314){)}^2+(1-(x+1){)}^2+(5-(x+1){)}^2+(4-(3.096x+1){)}^2$

该表达式可以简化为：

$(-0.314-x{)}^2+x^2+(4-x{)}^2+(3-3.096x{)}^2$

令其导数为0，于是有：

$-2(-0.314-x)+2x-2(4-x)-2(3-3.096x)=0$

对上式化简有：

$-2(6.686-6.096x)=0$

于是，$x=1.097$。

习题9.4.4

将9.4.4节的$y$的公式中的$i$全换成$j$即可。

习题9.4.5

矩阵M：

$$\left[\begin{array}{ccccc}5& 2& 4& 4& 3\\ 3& 1& 2& 4& 1\\ 2& & 3& 1& 4\\ 2& 5& 4& 3& 5\\ 4& 4& 5& 4& \end{array}\right]$$

a)

归一化处理后的矩阵M：

$$\left[\begin{array}{cccc}1.47& -1.1375& 0.07& -0.825\\ 0.87& -0.7375& -0.53& -1.425\\ -0.43& & 0.17& 1.275\\ -1.73& 1.6625& -0.13& 0.975\\ -0.18& 0.2125& 0.42& \end{array}\right]$$

b)

归一化处理后的矩阵M：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1.45& -1.35& 0.05& 0.45& -0.6\\ 0.85& -0.95& -0.55& 1.85& -1.2\\ -0.3875& & 0.2125& -1.3875& 1.5625\\ -1.75& 1.45& -0.15& -0.75& 1.2\\ -0.2& 0& 0.4& -0.2& \end{array}\right]$$

可以看出，两种处理之后的结果不同。