一、线性拟合概念

线性拟合是曲线拟合的一种形式。设x和y都是被观测的量，且y是x的函数：y=f(x; b)，曲线拟合就是通过x,y的观测值来寻求参数b的最佳估计值，及寻求最佳的理论曲线y=f(x; b)。当函数y=f(x; b)为关于b的i线性函数时，称这种曲线拟合为线性拟合。（石振东,刘国庆．实验数据处理与曲线拟合技术．哈尔滨：哈尔滨船舶工程学院出版社，1991）

线性拟合的原理：给定一组数据（xi，yi），i = 0,1,2,3,...,m-1，做拟合直线f(x) = a + bx，均方误差为：

 根据微积分原理，Q(a,b)的极小值要满足：

 

 整理变换一下：

 

 用消元法或克莱姆方法解方程得到：

 

当b>0时，y随着x的增大越来越大；当b<0时，y随着x的增大越来越小，当b = 0，说明y不随着x的变化而变化。

二、应用示例

描述：在某平台上线后，得出某指标（某疾病平均住院日）随着应用时间的推移发生的变化情况，在指标平台实施后选取8个季度进行统计分析，如下表：

季度	1	2	3	4	5	6	7	8
平均住院日（天）	20	20	19	18	18.5	17.5	18	17.2

#应用到numpy和pandas模块
import pandas as pd
import numpy as np

 导入查看数据：

data = pd.read_excel('线性拟合.xlsx')
data.head()

x_list = data.quarter.to_list()
y_list = data.average_hospital_stay.to_list()

#x_array,y_array是我们要拟合的数据
x_array = np.array(x_list)
y_array = np.array(y_list)
#方程个数
m = len(x_array) 
#计算过程
sum_x = np.sum(x_array)
sum_y = np.sum(y_array)
sum_xy = np.sum(x_array * y_array)
sum_xx = np.sum(x_array **2 )
a=(sum_y*sum_xx-sum_x*sum_xy)/(m*sum_xx-(sum_x)**2)
b=(m*sum_xy-sum_x*sum_y)/(m*sum_xx-(sum_x)**2)

 打印一下子：

print("p = {:.4f} + {:.4f}x".format(a,b))

 

绘制散点图，并进行线性拟合，如下如所示：

      结论：如图所示，在某平台使用后，平均住院日随着应用时间的增长越来越小，说明该平台的使用有利于缩小平均住院日。