壹. 重要定理

一. 相关概念

1. 伴随矩阵

 

2. 初等变换与等价

等价：经过有限次初等变换。

初等变换：左乘与右乘

 

3. 正交矩阵

 

二. 主要定理

 
求逆矩阵的工作量少一半

 

三. 主要公式

 

 

贰. 典型例题

1. 矩阵运算

注意：

 

题型一. 列向量的乘积

 

设矩阵，运算观察。
或直接对角线元素相加。

 

题型二：矩阵的n次方

• 方法一： 直接乘
• 方法二：秩=1，可以化成两个向量的乘积。
  另外两个向量乘积之后=数，是对角线元素相加。
  

 

直接乘。

 

公式：注意n倍的对于矩阵的每行都乘。

 
整理等式，计算。n次方的化简。

 

2. 特殊矩阵

题型一：伴随矩阵的求法

 

• 方法1：通过代数余子式，注意行列互换
• 方法2：通过行列式变换求逆+求行列式的值。

 

AB看成整体，$C{C}^{\ast }=|C|E$。等式左边$C^{\ast }$，利用$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$。

 

1. 行列式不等于0，则秩=n
2. 通过代数余子式来判定伴随矩阵。
   2.1. <n-1，代数余子式=0，所以伴随矩阵是0矩阵
   2.2. =n-1，
   

 

利用定义：伴随+转置的定义写出来+求行列式。
可以得到：A11=A12=A13=a11

 

题型二. 可逆矩阵

1. 伴随矩阵
2. 行变换

 

1. 矩阵相乘，提出A+E
2. 逆的特性。

 

凑E+B。
 

1. E的妙用
2. 转置的逆，向量相乘的逆

1. 利用E
2. 行列式的乘积可以左右替换乘积，并放到乘积的行列式中。

 

题型三. 正交矩阵

结论:

• 
• 正交矩阵的行列式=1

利用正交公式$A{A}^T=E$。先化简然后再观察求解。

 

都不是正交矩阵。

 

E的妙用

 

从定义出发：$A^{\ast }{(A^{\ast })}^T$，利用正交矩阵特性。

 

题型四：行最简矩阵

 

3. 初等变换(左乘行变换，右乘列变换)

---

以行为单位进行变换，第二行[0 1 2]的情况：没有第一行+第二行+二倍第三行。

 

 

一次变换也行，-2直接放到行变换中。

 

两个变换+逆乘。

 

由伴随+变换得AC的关系，约掉AC，求P。

 

由秩判断。等价秩相等。
 

4. 分块矩阵

对于一般的矩阵，拆成A+E(注意：也得是合适的形式，不是所有的矩阵都可以。)
对于秩=1的矩阵，化成列乘行矩阵的式子，以最小公约矩阵为基础（A）（为左），右乘行矩阵（每列对A的变化）。

 

 

B. 思路：求伴随可以先通过求逆来求

 

1. 可逆=行列式不等于零
2. 根据$A{A}^{-1}=E$，设矩阵

 

错，again。 接近对，是2xn，不是$2^n$。

 

矩阵不可逆的题型：当做三个非齐次线性方程，求基础解析

注意：A不可逆。
ing

 

初等列变换，列向量等价

B，$C{B}^{-1}=A$ ，C右乘矩阵进行初等列变换，所以列向量等价。

 

 

5. 矩阵秩的计算

一个未知数需要一个条件（秩=2，行列式=0）即可

 

判断A的秩，由r(A(E+B))=2，E+B=3满秩，所以r(A)=2。

 

直接初等行变换，进行分类讨论。

 

关键词解题：B是三阶非零矩阵，则AB=0有非零解，所以R(A) < 3,得行列式=0。 接着求出a，然后判断A的秩。

或利用二阶子式：直接判断

 

6. 矩阵方程：矩阵方程的运算

就像$[A|E]->[E|A^{-1}]$。

B，
化成(A - B)X(A + B) = E，因为R(E)=3，所以左式的秩都等于3。所以都可逆。

 

抽象矩阵等式：利用公式AA=AA=|A|E

注意公式：