一、二叉树遍历的类型

二叉树的遍历通常分为两大类：深度优先遍历（Depth-First Traversal, DFS）和广度优先遍历（Breadth-First Traversal, BFS）。在深度优先遍历中，又可以进一步分为前序遍历、中序遍历和后序遍历。广度优先遍历通常就是指层序遍历。

遍历二叉树是指按照一定的顺序访问树中的每个节点。常见的二叉树遍历方式主要分为以下几类：

1. 前序遍历（Pre-order Traversal）: 先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。
2. 中序遍历（In-order Traversal）: 先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。
3. 后序遍历（Post-order Traversal）: 先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。
4. 层次遍历（Level-order Traversal）: 按照从上到下、从左到右的顺序逐层遍历节点。

下面，我们将详细介绍每种遍历方式的原理、代码实现，并结合一个实例二叉树进行分析。

1. 前序遍历（Pre-order Traversal）

原理

前序遍历的顺序是：根节点 -> 左子树 -> 右子树。这种遍历方式首先访问根节点，然后依次遍历左子树和右子树。

代码实现

递归实现：

void preOrder(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return;
    std::cout << root->val << " "; // 访问根节点
    preOrder(root->left); // 递归遍历左子树
    preOrder(root->right); // 递归遍历右子树
}

迭代实现：

void preOrderIterative(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return;
    std::stack<TreeNode*> stack;
    stack.push(root);
    while (!stack.empty()) {
        TreeNode* node = stack.top();
        stack.pop();
        std::cout << node->val << " "; // 访问根节点
        if (node->right) stack.push(node->right); // 右子树入栈
        if (node->left) stack.push(node->left); // 左子树入栈
    }
}

实例分析

假设我们有一个二叉树如下：

       1
      / \
     2   3
    / \
   4   5

前序遍历过程：

1. 访问根节点 1，输出 1。
2. 递归遍历左子树，访问节点 2，输出 2。
3. 继续递归遍历节点 2 的左子树，访问节点 4，输出 4。
4. 节点 4 无子节点，返回到节点 2，遍历节点 2 的右子树，访问节点 5，输出 5。
5. 返回到根节点 1，递归遍历右子树，访问节点 3，输出 3。

最终的前序遍历结果为：1 2 4 5 3。

2. 中序遍历（In-order Traversal）

原理

中序遍历的顺序是：左子树 -> 根节点 -> 右子树。这种遍历方式首先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。

代码实现

递归实现：

void inOrder(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return;
    inOrder(root->left); // 递归遍历左子树
    std::cout << root->val << " "; // 访问根节点
    inOrder(root->right); // 递归遍历右子树
}

迭代实现：

void inOrderIterative(TreeNode* root) {
    std::stack<TreeNode*> stack;
    TreeNode* current = root;
    while (current != nullptr || !stack.empty()) {
        while (current != nullptr) {
            stack.push(current); // 左子树入栈
            current = current->left;
        }
        current = stack.top();
        stack.pop();
        std::cout << current->val << " "; // 访问根节点
        current = current->right; // 遍历右子树
    }
}

实例分析

继续使用前面的二叉树实例：

       1
      / \
     2   3
    / \
   4   5

中序遍历过程：

1. 递归遍历左子树，访问节点 4，输出 4。
2. 返回到节点 2，访问节点 2，输出 2。
3. 继续遍历右子树，访问节点 5，输出 5。
4. 返回到根节点 1，访问节点 1，输出 1。
5. 递归遍历右子树，访问节点 3，输出 3。

最终的中序遍历结果为：4 2 5 1 3。

3. 后序遍历（Post-order Traversal）

原理

后序遍历的顺序是：左子树 -> 右子树 -> 根节点。这种遍历方式首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。

代码实现

递归实现：

void postOrder(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return;
    postOrder(root->left); // 递归遍历左子树
    postOrder(root->right); // 递归遍历右子树
    std::cout << root->val << " "; // 访问根节点
}

迭代实现：

void postOrderIterative(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return;
    std::stack<TreeNode*> stack1, stack2;
    stack1.push(root);
    while (!stack1.empty()) {
        TreeNode* node = stack1.top();
        stack1.pop();
        stack2.push(node);
        if (node->left) stack1.push(node->left); // 左子树入栈
        if (node->right) stack1.push(node->right); // 右子树入栈
    }
    while (!stack2.empty()) {
        std::cout << stack2.top()->val << " "; // 访问根节点
        stack2.pop();
    }
}

实例分析

仍然使用相同的二叉树实例：

       1
      / \
     2   3
    / \
   4   5

后序遍历过程：

1. 递归遍历左子树，访问节点 4，输出 4。
2. 返回到节点 2，遍历右子树，访问节点 5，输出 5。
3. 返回到节点 2，访问节点 2，输出 2。
4. 返回到根节点 1，遍历右子树，访问节点 3，输出 3。
5. 最后访问根节点 1，输出 1。

最终的后序遍历结果为：4 5 2 3 1。

4. 层次遍历（Level-order Traversal）

原理

层次遍历的顺序是：逐层从左到右遍历。这种遍历方式利用队列的先进先出特性，按层次从上到下、从左到右依次访问节点。

代码实现

void levelOrder(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return;
    std::queue<TreeNode*> queue;
    queue.push(root);
    while (!queue.empty()) {
        TreeNode* node = queue.front();
        queue.pop();
        std::cout << node->val << " "; // 访问当前节点
        if (node->left) queue.push(node->left); // 左子树入队
        if (node->right) queue.push(node->right); // 右子树入队
    }
}

实例分析

继续使用前面的二叉树实例：

       1
      / \
     2   3
    / \
   4   5

层次遍历过程：

1. 初始队列：[1]，访问节点 1，输出 1，并将其左右子节点 2 和 3 入队。
2. 队列更新为：[2, 3]，访问节点 2，输出 2，并将其左右子节点 4 和 5 入队。
3. 队列更新为：[3, 4, 5]，访问节点 3，输出 3，节点 3 无子节点。
4. 队列更新为：[4, 5]，访问节点 4，输出 4，节点 4 无子节点。
5. 队列更新为：[5]，访问节点 5，输出 5，节点 5 无子节点。

最终的层次遍历结果为：1 2 3 4 5。

二、 总结

遍历二叉树是掌握二叉树结构的基础。在实际应用中，不同的遍历方式有不同的适用场景：

• 前序遍历：适用于需要在访问节点时立即处理的情况，比如复制树结构。
• 中序遍历：常用于需要按顺序访问节点的场景，比如在二叉搜索树中查找某个范围内的元素。
• 后序遍历：通常用于需要在处理完所有子节点后才处理当前节点的情况，比如删除树。
• 层次遍历：适合按层次处理树节点的问题，比如计算树的层数或查找某一层的所有节点。

不同的遍历方式本质上是通过不同的顺序来访问树中的节点，理解这些遍历方式有助于更深入地理解二叉树的结构和操作。