VRPTW问题描述

$G=(V,A)$无向连通图，$V$为无向连通图中所有的节点集合（包括配送中心和客户点），$A$为图中所有的弧的集合。配送中心用$0$和$n+1$表示。 N = V ∖ { 0 , n + 1 } N=V\setminus\{0,n+1\} N=V∖{0,n+1}表示客户点集合，$U$表示车辆集合，$C_{ij}$表示车辆从$i$到$j$花费的时间。

无向连通图 $G=(V,A)$中所有有效的车辆路径都是从$0$到$n+1$。$0$和$n+1$的时间窗满足$[a_0,b_0]=[a_{n+1},b_{n+1}]$，表示配送中心最早离开时间和最晚到达时间。$0$和$n+1$点的需求为$d_0=d_{n+1}=0$，服务时间为$S_0=S_{n+1}=0$。满足$mi{n}_{i\in V}(b_i-C_{0i})\ge a_0$和$mi{n}_{i\in V}(a_i+S_i+C_{i0})\le b_{n+1}$关系时才存在可行解。模型中允许车辆在配送中心停留，故弧$(0,n+1）$满足约束。

由三角不等式，消除不满足时间约束的弧：$(a_i+S_i+C_{ij})>b_j$；消除不满足车辆容量的弧：$d_i+d_j>Q$
符号说明：
$V$      ~~~~           ~~~~      = { 0 , ⋅ ⋅ ⋅ , n } =\{0,···,n\} ={0,⋅⋅⋅,n}，0是配送中心，$1$到$n$是客户点。
$A$      ~~~~           ~~~~     弧集合
$C_{ij}$      ~~~~         ~~   在弧$(i,j)\in A上的行驶时间$
$d_i$      ~~~~           ~~~~     客户$i$的需求量，$d_0=0$
$S_i$      ~~~~           ~~~~     客户$i$的服务时间
$Q$      ~~~~           ~~~~     车辆容量
$U$      ~~~~           ~~~~     车辆集合
$a_i$     ~~~           ~~~~~      开始时间窗
$a_i$     ~~~           ~~~~~      结束时间窗
$M$      ~~~~          ~~~    一个足够大的数
决策变量：
$x_{ij}^u$     ~~~           ~~~~~      车辆u是否使用弧$(i,j)$
$s_i^u$     ~~~           ~~~~~       车$u$开始服务顾客$i$的时间

VRPTW数学模型

VRPTW的集合覆盖模型（set covering model）

$$min\sum _{r_k\in \Omega }{C}_k{\theta }_k\text{\hspace{1em}(10)}$$$subjectto$ ∑ r k ∈ Ω a i k θ k ≥ 1          i ∈ V ∖ { 0 } (11) \sum_{r_k \in \Omega}a_{ik}\theta_k\geq1~~~~~~~~i\in V \setminus \{0\}\tag{11} rk​∈Ω∑​aik​θk​≥1        i∈V∖{0}(11)$$\sum _{r_k\in \Omega }{\theta }_k\le U\text{\hspace{1em}(12)}$$$${\theta }_k\in N,r_k\in \Omega \text{\hspace{1em}(13)}$$
其中：
${\theta }_k{\theta }_k=1代表路径使用r_k$
$\Omega$       ~~~~~             ~~~~~      可行路径的集合，可行路径指从配送中心出发，回到配送中心，       ~~~~~                ~~~~~~~~         满足车辆容量和时间窗约束，且至少访问一个顾客的路径。
$C_k$      ~~~~           ~~~~     路径$r_k$的成本，$r_k\in \Omega$。
$a_{ik}$      ~~~~           ~~~~     $a_{ik}=1$代表路径$k$使用节点
$b_{ijk}$      ~~~~          ~~~    $b_{ijk}=1$代表路径$k$使用弧$(i,j)$

有$C_k$和$C_{ij}$关系如下：
$$C_k=\sum _{(i,j)\in A}{b}_{ijk}{C}_{ij}$$
有$a_{ik}$和$b_{ijk}$关系如下：
a i k = ∑ { j ∈ V ∣ ( i , j ) ∈ A } b i j k a_{ik}=\sum_{\{j∈V|(i,j)∈A\}} b_{ijk} aik​={j∈V∣(i,j)∈A}∑​bijk​

约束（11）对应于约束（2），保证有顾客被服务。
约束（12）限制使用的车辆数量，每辆车对应一条路径。
约束（13）${\theta }_k$被定义为整形变量，没有将其定义为0-1变量。

列生成与集合覆盖模型

不幸的是，集合覆盖模型（10）-（13）不是很好处理，其困难之处在于集合$\Omega$的不能被穷举出来，随着顾客数量的增加，$\Omega$将指数级暴增。这就用到了列生成技术。
列生成思想概述如下：

1. 先把原问题$P_0$限制（restrict）到一个规模更小（即变量数比原问题少的）的问题$P_1$，用单纯形法求解$P_1$的最优解，但是此时只求得了$P_1$的最优解，而不是$P_0$的最优解。
2. 此时，就需要通过一个子问题（subproblem）去检查是否存在一个非基变量，其reduced cost小于零？如果有，那么就把这个变量相关的系数列（column）加入到原问题P_0的系数矩阵中，回到第1步。
3. 经过反复迭代，直到找不到reduced cost小于零的非基变量，那么就求得了原问题$P_0$的最优解。

主问题（master problem）

将上述set covering model松弛为线性模型，就是VRPTW的主问题。
即将${\theta }_k\in N$ 松弛为 ：${\theta }_k\ge 0$得到MP如下：
$$min\sum _{r_k\in \Omega }{C}_k{\theta }_k\text{\hspace{1em}(14)}$$$subjectto$ ∑ r k ∈ Ω a i k θ k ≥ 1          i ∈ V ∖ { 0 }            (15) \sum_{r_k \in \Omega}a_{ik}\theta_k\geq1~~~~~~~~i\in V \setminus \{0\}~~~~~~~~~~\tag{15} rk​∈Ω∑​aik​θk​≥1        i∈V∖{0}          (15)$$\sum _{r_k\in \Omega }{\theta }_k\le U\text{\hspace{1em}(16)}$$$${\theta }_k\ge 0,r_k\in \Omega \text{\hspace{1em}(17)}$$

限制主问题（restricted master problem，RMP）

主问题中，$\Omega$表示所有可行路径的集合，则$|\Omega |$表示可行路径的数量，由$\Omega$不好被穷举，则要限制MP（将$\Omega$缩小到其子集${\Omega }_1$），则RMP如下：
$$min\sum _{r_k\in {\Omega }_1}{C}_k{\theta }_k\text{\hspace{1em}(14)}$$$subjectto$ ∑ r k ∈ Ω 1 a i k θ k ≥ 1          i ∈ V ∖ { 0 }            (15) \sum_{r_k \in \Omega_1}a_{ik}\theta_k\geq1~~~~~~~~i\in V \setminus \{0\}~~~~~~~~~~\tag{15} rk​∈Ω1​∑​aik​θk​≥1        i∈V∖{0}          (15)$$\sum _{r_k\in {\Omega }_1}{\theta }_k\le U\text{\hspace{1em}(16)}$$$${\theta }_k\ge 0,r_k\in {\Omega }_1\text{\hspace{1em}(17)}$$

限制主问题的对偶问题DRMP

m a x ∑ i ∈ V ∖ { 0 } λ i + U λ 0            (18) max \sum_{i \in V \setminus \{0\}} \lambda_i+U\lambda_0~~~~~~~~~~\tag{18} maxi∈V∖{0}∑​λi​+Uλ0​          (18) ∑ i ∈ V ∖ { 0 } a i k λ i + λ 0 ≤ C k      r k ∈ Ω 1            (19) \sum_{i \in V \setminus \{0\}} a_{ik}\lambda_i+\lambda_0 \leq C_k~~~~r_k \in \Omega_1~~~~~~~~~~\tag{19} i∈V∖{0}∑​aik​λi​+λ0​≤Ck​    rk​∈Ω1​          (19) λ i ≥ 0       i ∈ V ∖ { 0 }           (20) \lambda_i \geq0~~~~~i \in V \setminus \{0\}~~~~~~~~~\tag{20} λi​≥0     i∈V∖{0}         (20) $${\lambda }_0\le 0\text{\hspace{1em}(21)}$$
其中：
${\lambda }_i$：非负对偶变量，对应约束（15）
${\lambda }_0$：非负对偶变量，对应约束（16）

子问题/定价子问题（pricing subproblem)

子问题目的是找到一条路径$r_k\in \Omega \setminus {\Omega }_1$，使得
C k − ∑ i ∈ V ∖ { 0 } a i k λ i ∗ − λ 0 ∗ ≤ 0 C_k-\sum_{i \in V \setminus\{0\}}a_{ik}\lambda_i^*-\lambda_0^*\leq0 Ck​−i∈V∖{0}∑​aik​λi∗​−λ0∗​≤0
$r_k$需要满足：

1. 从depot出发，最终回到depot
2. 每个顾客最多只能访问一次
3. 满足容量和时间窗的约束

求解子问题可以采用启发式方法，脉冲算法等。