参考书籍：

1. Boneh D, Shoup V. A graduate course in applied cryptography[J]. Recuperado de https://crypto. stanford. edu/~dabo/cryptobook/BonehShoup_0_4. pdf, 2017.
2. Lindell Y. How to simulate it–a tutorial on the simulation proof technique[J]. Tutorials on the Foundations of Cryptography, 2017: 277-346.

Zero-Knowledge Proof

一些术语

证据（Witness）：the value being proven knowledge of。仅Prover知道，不对Verifier泄露。
实例（Instance）：描述关系中除witness外的所有其它元素，均统称为instance。它是公开信息，对于Prover和Verifier均已知。
证明者（Prover）: the entity proving the knowledge of the witness
验证者（Verifier）：the other party that the prover needs to convince of the knowledge of witness
模拟器（Simulator）：提供“模拟”，它在理想世界（ideal world）中驻留，得到与真实世界（real world）相同的视图（view）分布

有效关系：令$X,Y$是可有效识别有限集（ efficiently recognizable finite sets），有效关系是二元关系：$R\subseteq X\times Y$，其中$y\in Y$叫做声明（statement），如果$(x,y)\in R$那么$x$叫做$y$的证据（witness）

关系的语言（Language）

证明系统

一个证明系统，它需要满足两个条件：
1.完备性（Compeleness）：语言$L$，对于诚实的$P$，给定公共输入$x\in L$，那么$V$需要确信$x\in L$（除了可忽略的概率）
2.可靠性（Soundness）：语言$L$，对于任意的（恶意）$P$，给定公共输入$x\notin L$，那么$V$需要相信$x\in L$的概率可忽略

我们说一个证明是零知识的，如果存在一个模拟器$S$，它可以仅根据公开信息就获得相同的验证者视图。

诚实验证者零知识（HVZK）

Sigma Protocol

Sigma协议

令$R$是一个有效关系，那么sigma协议是关于$R$的二元组$(P,V)$
协议如下：

执行过程为：

Schnorr’s Identification Protocol

Schnorr协议是Sigma协议的实例化，基于离散对数问题。
令$X=Z_q$，$Y=G$， R = { ( α , u ) ∈ X × Y ∣ g α = u } R=\{(\alpha,u) \in X \times Y | g^\alpha = u\} R={(α,u)∈X×Y∣gα=u}，协议如下：

执行过程为：

首先，$P$选择一个随机数${\alpha }_t$，将承诺$u_t$发送给$V$。然后，$V$选择一个挑战$c$，$P$生成对这个挑战的响应${\alpha }_z$（随机的，与${\alpha }_t$相关，但是与$c$独立）。最后，$V$验证确实满足${\alpha }_z={\alpha }_t+\alpha c$，所以相信$P$确实拥有$\alpha$。

协议安全性：Schnorr身份认证协议是 HVZK 的。

Zero-Knowledge Proof for 3-Coloring

方案

图的着色问题是NP问题。下面利用承诺协议，给出三着色的零知识证明方案：

上述协议也符合Sigma协议的范式。

安全性

由于图$G$包含$|E|$条边，任意不知道着色方案的PPT敌手只能随机着色，且图中至少有一条边的两个端点被分配了相同的颜色。因此重复$n\cdot |E|$次后，敌手成功的概率至多为$(1-\frac{1}{|E|}{)}^{n\cdot |E|}\le e^{-n}$，可以忽略。

然而上述证明是不够的，我们需要构建一个模拟器$S$，它可以只根据公开信息获得相同的对话记录。模拟器构建如下：

1. 模拟器调用验证者，猜测验证者想要请求的边，给这条边端点涂上不同色其他随意。然后发送染色的承诺。
2. 如果猜对了，那么模拟器成功。如果猜错了，模拟器就回滚（rewinding，技术上利用虚拟机快照实现）验证者，重新猜测，直到猜对。
3. 最终，模拟器中的验证者视图和真实世界的会话没有区别。

注意，真实世界中，证明者$P$和验证者$V$是独立实体，因此恶意证明者$A$没有回滚$V$的能力。