18、指数移动平均——EMA

EMA

C--G

1770人浏览 · 2023-03-09 22:56:01

C--G · 2023-03-09 22:56:01 发布

简介

在深度学习中，经常会使用EMA（指数移动平均）这个方法对模型的参数做平均，以求提高测试指标并增加模型鲁棒。

指数移动平均（Exponential Moving Average）也叫权重移动平均（Weighted Moving Average），是一种给予近期数据更高权重的平均方法。

例子

假设有”温度-天数“的数据
$\theta_t$ ：在第 t 天的温度
$v_t$ ：在第 t 天的移动平均数
$\beta$ ：权重参数

$\begin{aligned} v_0 &= 0 \\ v_1 &=0.9v_0 + 0.1 \theta_1 \\ v_2 &=0.9v_1 + 0.1 \theta_2\\ &\cdots\\ v_t &=0.9v_{t-1} + 0.1\theta_t\\ \end{aligned}$
在这里插入图片描述
红线即是蓝色数据点的指数移动平均

$V_t$ 和 $\beta$ 的关系

$v_t$ 大概表示前 $\frac{1}{1-\beta}$ 天的平均数据（以第 t 天做参考）

$\beta = 0.9$	$\frac{1}{1-\beta}\approx10$	$v_t$ 大概表示前10天的平均数据	红线
$\beta = 0.98$	$\frac{1}{1-\beta}\approx50$	$v_t$ 大概表示前50天的平均数据	绿线
$\beta = 0.5$	$\frac{1}{1-\beta}\approx2$	$v_t$ 大概表示前2天的平均数据	黄线
那么 $\beta$ 越大，表示考虑的时间阔度越大

理解 $v_t$

$\begin{aligned} v_t = \beta \cdot v_{t-1} + (1-\beta) \cdot \theta_t \end{aligned}$

当 $\beta = 0.9$ ，从 $v_{100}$ 往回写

$\begin{aligned} v_{100} &= 0.9v_{99} + 0.1\theta_{100}\\ v_{99} &= 0.9v_{98} + 0.1\theta_{99}\\ &\cdots \\ v_1 &=0.9v_0 + 0.1 \theta_1 \\ v_0 &= 0 \\ \end{aligned}$

迭代该过程可知：

$v_{100} 是 $\theta_{100}\ \theta_{99}\ \theta_{98}\ \cdots$ 的加权求和
$\theta$ 前的系数相加为 1 或逼近 1

当某项系数小于峰值系数 (𝟏−𝜷）的 $\frac{1}{e}$ 时，可以忽略它的影响

$(0.9)^10 \simeq 0.34 \simeq \frac{1}{e}$ 所以当β=0.9时，相当于前10天的加权平均。

$(0.98)^50 \simeq 0.36 \simeq \frac{1}{e}$ 所以当β=0.98时，相当于前50天的加权平均。

$(0.5)^2 \simeq 0.25 \simeq \frac{1}{e}$ 所以当β=0.5时，相当于前2天的加权平均。

带入深度学习模型

$v_t = \beta \cdot v_{t-1} + (1-\beta) \cdot \theta_t$
$\theta_t$ ：在第 t 次更新得到的所有参数权重
$v_t$ ：第 t 次更新的所有参数移动平均数
$\beta$ ：权重参数

EMA内在

对于更新 t 次时普通的参数权重 $\theta_t$ ( $g_t$ 是第 t 次传播得到的梯度)：

$\begin{aligned} \theta_t &= \theta_{t-1} - g_{t-1}\\ &=\theta_{t-2} - g_{t-1} - g_{t-2}\\ & = \cdots\\ &= \theta_1 - \sum^{t-1}_{i=1} g_i\\ \end{aligned}$

对于更新 t 次时使用EMA的参数权重 $v_t$ ：

$\begin{aligned} \theta_t &= \theta_1 - \sum^{t-1}_{i=1}g_i\\ v_t &= \theta_1 - \sum^{t-1}_{i=1}(1-\beta^{t-i})g_i \end{aligned}$

推理如下：将 $\theta_n$ 带入 $v_n$ 表达式，并且令 $v_0 = \theta_1$ :

$\begin{aligned} v_n &= \beta^t v_0 +(1-\beta)(\theta_t + \beta\theta_{t-1}+\beta^2\theta_{t-2}+\cdots+\beta^{n-1}\theta_1) \\ &=\beta^tv_0 + (1-\beta)(\theta_1 - \sum^{t-1}_{i=1}g_i+\beta(\theta_1 - \sum^{t-2}_{i=1}g_i)+\cdots+\beta^{t-2}(\theta_1 - \sum^{1}_{i=1}g_i)+\beta^{t-1}\theta_1)\\ &=\beta^tv_0 + (1-\beta^t)\theta_1 - \sum^{n-1}_{i=1}(1-\beta^{t-i})g_i \\ &=\theta_1 - \sum^{t-1}_{i=1}(1-\beta^{t-i})g_i \end{aligned}$

普通的参数权重相当于一直累积更新整个训练过程的梯度，使用EMA的参数权重相当于使用训练过程梯度的加权平均（刚开始的梯度权值很小）。由于刚开始训练不稳定，得到的梯度给更小的权值更为合理，所以EMA会有效。

代码实现

class EMA(nn.Module):
    def __init__(self, model, decay=0.9999, device=None):
        super(EMA, self).__init__()
        # make a copy of the model for accumulating moving average of weights
        self.module = deepcopy(model)
        self.module.eval()
        self.decay = decay
        # perform ema on different device from model if set
        self.device = device
        if self.device is not None:
            self.module.to(device=device)

    def _update(self, model, update_fn):
        with torch.no_grad():
            for ema_v, model_v in zip(self.module.state_dict().values(), model.state_dict().values):
                if self.device is not None:
                    model_v = model_v.to(device=self.device)
                ema_v.copy_(update_fn(ema_v, model_v))

    def update(self, model):
        self._update(model, update_fn=lambda e, m: self.decay * e + (1. - self.decay) * m)

    def set(self, model):
        self._update(model, update_fn=lambda e, m: m)

class LitEma(nn.Module):
    def __init__(self, model, decay=0.9999, use_num_upates=True):
        super().__init__()
        if decay < 0.0 or decay > 1.0:
            raise ValueError('Decay must be between 0 and 1')

        self.m_name2s_name = {}
        self.register_buffer('decay', torch.tensor(decay, dtype=torch.float32))
        self.register_buffer('num_updates', torch.tensor(0, dtype=torch.int) if use_num_upates
        else torch.tensor(-1, dtype=torch.int))

        for name, p in model.named_parameters():
            if p.requires_grad:
                # remove as '.'-character is not allowed in buffers
                s_name = name.replace('.', '')
                self.m_name2s_name.update({name: s_name})
                self.register_buffer(s_name, p.clone().detach().data)

        self.collected_params = []

    def forward(self, model):
        decay = self.decay

        if self.num_updates >= 0:
            self.num_updates += 1
            decay = min(self.decay, (1 + self.num_updates) / (10 + self.num_updates))

        one_minus_decay = 1.0 - decay

        with torch.no_grad():
            m_param = dict(model.named_parameters())
            shadow_params = dict(self.named_buffers())

            for key in m_param:
                if m_param[key].requires_grad:
                    sname = self.m_name2s_name[key]
                    shadow_params[sname] = shadow_params[sname].type_as(m_param[key])
                    shadow_params[sname].sub_(one_minus_decay * (shadow_params[sname] - m_param[key]))
                else:
                    assert not key in self.m_name2s_name

    def copy_to(self, model):
        m_param = dict(model.named_parameters())
        shadow_params = dict(self.named_buffers())
        for key in m_param:
            if m_param[key].requires_grad:
                m_param[key].data.copy_(shadow_params[self.m_name2s_name[key]].data)
            else:
                assert not key in self.m_name2s_name

    def store(self, parameters):
        """
        Save the current parameters for restoring later.
        Args:
          parameters: Iterable of `torch.nn.Parameter`; the parameters to be
            temporarily stored.
        """
        self.collected_params = [param.clone() for param in parameters]

    def restore(self, parameters):
        """
        Restore the parameters stored with the `store` method.
        Useful to validate the model with EMA parameters without affecting the
        original optimization process. Store the parameters before the
        `copy_to` method. After validation (or model saving), use this to
        restore the former parameters.
        Args:
          parameters: Iterable of `torch.nn.Parameter`; the parameters to be
            updated with the stored parameters.
        """
        for c_param, param in zip(self.collected_params, parameters):
            param.data.copy_(c_param.data)