【定理1】设$H、K$为群$G$的两个子群，那么$HK$为$G$的子群当且仅当$HK=KH$。

【证明】

首先$HK$为$G$的子集，下面只需要证明$HK$的封闭性的等价条件是$HK=KH$。

必要性：$HK=KH\Rightarrow HK$为$G$的子群

不妨设$a=h_1+k_1\in HK、b=h_2+k_2\in HK$，那么$a+b=h_1+k_1+h_2+k_2=h_1+\left(k_1+h_2\right)+k_2$，由于$HK=KH$，所以$k_1+h_2\in KH=HK$，从而$k_1+h_2=h_2^{{}^{\prime }}+k_1^{{}^{\prime }}\in HK$（其中$h_2^{{}^{\prime }}\in H、k_1^{{}^{\prime }}\in K$），最后$a+b=h_1+h_2^{{}^{\prime }}+k_1^{{}^{\prime }}+k_2=\left(h_1+h_2^{{}^{\prime }}\right)+\left(k_1^{{}^{\prime }}+k_2\right)\in HK$。这就是说$HK$运算封闭。

充分性：$HK$为$G$的子群$\Rightarrow HK=KH$

对于任意的$k\in K、k=e+k\in HK、h\in H、h=h+e\in HK$，由于运算封闭，所以$k+h=e+(k+h)+e\in HK$，从而$k+h\in HK$。这意味着$HK=KH$

【定理2】设$H、K$为群$G$的两个有限子群，那么

$$|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}$$

【证明】

首先$H\cap K$为群$G$的有限子群，这是因为其上的运算是封闭的。同时$H\cap K$为群$H、K$的有限子群，这是因为$H\cap K$为$H、K$的子集。考虑有限群$H$关于$H\cap K$的陪集，由拉格朗日定理，有$|H|=\left[H:(H\cap K)\right]|H\cap K|$。所以

$$\frac{|H||K|}{|H\cap K|}=\left[H:(H\cap K)\right]|K|$$

1. 若$a\in h(H\cap K)、b\in h(H\cap K)$，那么$aK=bK$

因为$a\in h(H\cap K)、b\in h(H\cap K)$，所以$a={hh}_a、b=h{h}_b$。对于任意的$ak\in aK$，有$ak=h{h}_{a}k=h{h}_b{h}_b^{-1}{h}_{a}k=h{h}_b\left(h_b^{-1}{h}_{a}k\right)=b\left(h_b^{-1}{h}_{a}k\right)\in bK$（其中$h_b^{-1}{h}_a\in H\cap K$）。同理，对于任意的$bk\in bK$，有$bk\in aK$，也就是说$aK=bK$

2. 若$a\in h_1(H\cap K)、b\in h_2(H\cap K)$，并且$h_1(H\cap K)\ne h_2(H\cap K)$，那么$aK\cap bK=\varnothing$

利用反证法，若$aK\cap bK\ne \varnothing$，不妨设$a={h_{1}h}_a、b=h_2{h}_b$，那么必有${h_{1}h}_a{k}_1=h_2{h}_b{k}_2$，从而$h_2^{-1}{h}_1=h_b{k}_2{\left(h_a{k}_1\right)}^{-1}$。由于$h_b{k}_2\in K、h_a{k}_1\in K、h_b{k}_2{\left(h_a{k}_1\right)}^{-1}\in K$，所以$h_2^{-1}{h}_1\in K$。又因为$h_1\in H、h_2\in H$，所以$h_2^{-1}{h}_1\in H$。从而$h_2^{-1}{h}_1\in H\cap K$，根据陪集的相关性质，可得$h_1(H\cap K)=h_2(H\cap K)$，矛盾，所以$aK\cap bK=\varnothing$。

由1、2可知$HK$的运算结果中，共有$|H\cap K|$对重复的运算结果，不重复的个数恰好为不同陪集数$\left[H:(H\cap K)\right]$乘以$K$的元素个数$|K|$，也就是

$$|HK|=\left[H:(H\cap K)\right]|K|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}$$