反馈系统（线性时不变系统）的稳定性由其闭环极点唯一确定。

零点：即传递函数分子为零，即让传递函数最小

极点：即传递函数分母为零，即让传递函数最大

下面这篇博客有详细的介绍。

根轨迹法

为什么要画根轨迹？反馈系统的闭环极点就是该系统特征方程的根。最简单的判稳方法就是求特征方程的特征根，如果所有特征根都是负的，那么系统肯定稳定。因为对于一阶二阶系统，求根根式无法直接求出。根轨迹法，它不直接求解特征方程，而是用图解法来确定系统的闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹，也就是是开环系统某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在复平面[s]上变化的轨迹。如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益。

根轨迹法研究系统的一个可调参数对闭环极点的影响，最常见的可调参数就是开环增益K。

基本规则：

（1）根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。

因为根轨迹是闭环特征方程的根，当K=0时方程的根就是它的n个开环极点，当K→∞时方程的根就是它的m个开环零点。根轨迹的起点和终点是根轨迹的特殊点。当n=m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，正好终止于 个开环零点。

当n>m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。

解释：终点就是K→∞的点，要K→∞只有两种情况：一是s=zl(l=1,2,…,m)；二是s→∞。这时，无穷远处也称为‘无穷远零点’。

当n<m时，终止于m个开环零点m支根轨迹，有 支来自个开环极点，有m-n支来自无穷远处。必需指出，实际系统极少有n<m的情况，但是在处理特殊根轨迹时，常常将系统特征方程变形，变形后的等价系统可能会出现这种情况。

（2）分支数和对称性

根轨迹一定对称于实轴，并且有max(n,m)支。

因为根轨迹是闭环特征方程的根，无论K如何变化特征方程始终有max(n,m)个根，即使出现重根，当K从零到无穷大连续变化时重根不可能始终为重根，所以根轨迹一定有max(n,m)支。

特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是共轭复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于实轴。

（3）实轴上的根轨迹

实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对于其中任一段，如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。

（4）渐近线

根轨迹的渐近线。当开环有限极点数n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a，交点为 a的一组渐近线趋向无穷远处，且有

5）会和分离点与分离角

会和分离点的意思就是根轨迹会在这里会和和分离，也就是说有重根。两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d是下列方程的解：

式中，zj为各开环零点的数值；pi为各开环极点的数值；分离角为（2k+1）π/l

6）起始角与终止角

根轨迹的起始角与终止角。只有当出现复数零极点时，才会考虑用此规则！根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角。这两个角度都是通过相角条件求的。

相角条件？n-m>2时分子的角度之和减去分母的角度之和=（2K+1）*pai（180度根轨迹）就是零点的角度之和减去极点的角度之和。那么，接下来在列式子时，只需要将同类型的角度放在一块就好了。这样就可以避免出错！

7）与虚轴的交点

根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚轴相交，则交点上的值和ω值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的s=jω，然后分别令其实部和虚部为零而求得。

8）根之和

n-m>2时：开环极点之和=闭环极点之和。

系统性能分析

绘制根轨迹可以总结为三句话：

依据的是开环零极点分布，

遵循的是不变的相角条件，

画出的是闭环极点的轨迹。