例1：求微分方程 𝑦′′−2𝑦′−3𝑦=0y′′−2y′−3y=0 的通解。

解：

1. 写出特征方程： 𝑟2−2𝑟−3=0.r2−2r−3=0.

2. 求解特征方程： 通过分解或使用求根公式，得： (𝑟−3)(𝑟+1)=0,(r−3)(r+1)=0, 因此，𝑟1=3r1​=3 和 𝑟2=−1r2​=−1。

3. 写出微分方程的通解： 由于特征方程的根 𝑟1r1​ 和 𝑟2r2​ 不相等，根据解的形式： 𝑦=𝐶1𝑒3𝑥+𝐶2𝑒−𝑥.y=C1​e3x+C2​e−x.

例2：求满足初值条件 𝑠(0)=4s(0)=4 和 𝑠′(0)=−2s′(0)=−2 的微分方程 𝑠′′+2𝑠′+𝑠=0s′′+2s′+s=0 的特解。

解：

1. 写出特征方程： 𝑟2+2𝑟+1=0,r2+2r+1=0, 这实际上是： (𝑟+1)2=0,(r+1)2=0, 表明 𝑟1=𝑟2=−1r1​=r2​=−1 是一个重根。

2. 微分方程的通解： 由于特征根重复，解的形式为： 𝑠=(𝐶1+𝐶2𝑡)𝑒−𝑡.s=(C1​+C2​t)e−t.

3. 应用初值条件：

   • 将 𝑠(0)=4s(0)=4 代入通解，得 𝐶1=4C1​=4。
   • 求导得 𝑠′=(𝐶2−𝐶2𝑡−4)𝑒−𝑡s′=(C2​−C2​t−4)e−t，再将 𝑠′(0)=−2s′(0)=−2 代入，得 𝐶2−4=−2C2​−4=−2，解得 𝐶2=2C2​=2。

4. 所求的特解： 𝑠=(4+2𝑡)𝑒−𝑡.s=(4+2t)e−t.

例3：求微分方程 𝑦′′−2𝑦′+5𝑦=0y′′−2y′+5y=0 的通解。

解：

1. 写出特征方程： 𝑟2−2𝑟+5=0.r2−2r+5=0.

2. 求解特征方程： 使用求根公式得： 𝑟1,2=2±(−2)2−4⋅1⋅52⋅1=1±2𝑖.r1,2​=2⋅12±(−2)2−4⋅1⋅5​​=1±2i.

3. 写出微分方程的通解： 根是一对共轭复根 1±2𝑖1±2i，根据解的形式，通解是： 𝑦=𝑒𝑥(𝐶1cos⁡(2𝑥)+𝐶2sin⁡(2𝑥)).y=ex(C1​cos(2x)+C2​sin(2x)).

以上每个例子都展示了如何从特征方程到解的形式再到应用初值条件的整个求解过程，显示了常系数齐次线性微分方程解法的普遍性和系统性。

 

解析步骤：

1. 微分方程建立： 因为不计阻力 𝑅R，所以动力学方程简化为： 其中 𝑘k 是弹簧的劲度系数。这可以重写为：

2. 其中 𝜔2=𝑘𝑚ω2=mk​。

3. 特征方程： 特征方程为： 𝑟2+𝜔2=0,r2+ω2=0, 解得 𝑟=±𝑖𝜔r=±iω，表示一对共轭复根。

4. 微分方程的通解： 由于特征根为复数，通解形式为：

5. 应用初值条件：

   • 初始条件 𝑥(0)=𝑥0x(0)=x0​ 和 𝑥′(0)=𝑣0x′(0)=v0​。
   • 将 𝑥(0)=𝑥0x(0)=x0​ 代入通解得 𝐶1=𝑥0C1​=x0​。
   • 对通解求导得到 𝑥′(𝑡)=−𝜔𝐶1sin⁡(𝜔𝑡)+𝜔𝐶2cos⁡(𝜔𝑡)x′(t)=−ωC1​sin(ωt)+ωC2​cos(ωt)。将 𝑥′(0)=𝑣0x′(0)=v0​ 代入得 𝜔𝐶2=𝑣0ωC2​=v0​，解得 𝐶2=𝑣0𝜔C2​=ωv0​​。

6. 特解形式：

7. 用振幅和相位表示解： 可以将上述解重写为：

8. 振动现象解释：

   • 周期 𝑇=2𝜋𝜔T=ω2π​，角频率为 𝜔ω。
   • 振幅 𝐴A 为振动的最大幅度。
   • 初相 𝜙ϕ 指出在 𝑡=0t=0 时振动相对于其自然状态的偏移。

通过这种方式，该物体的振动被描述为简谐振动，完全由系统的物理参数（如弹簧常数和物体质量）以及初始条件确定。

 

 

例5：有阻尼的自由振动

在例5中，我们分析了在受弹簧恢复力和阻尼阻力作用下的物体运动，给出了描述运动规律的微分方程及其解的分析。

分析步骤：

1. 方程建立： 有阻尼的自由振动方程可以写成： 𝑥′′+2𝑛𝑥′+𝜔2𝑥=0,x′′+2nx′+ω2x=0, 其中，𝑛n 为阻尼系数，𝜔2=𝑘𝑚ω2=mk​ 为弹簧-质量系统的固有频率平方。

2. 特征方程： 特征方程为： 𝑟2+2𝑛𝑟+𝜔2=0.r2+2nr+ω2=0.

3. 根的情况： 特征方程的根： 𝑟=−𝑛±𝑛2−𝜔2.r=−n±n2−ω2​. 根的形式根据 𝑛n 与 𝜔ω 的大小关系分为三种不同情形：

   • 小阻尼（欠阻尼）：𝑛<𝜔n<ω。
   • 大阻尼：𝑛>𝜔n>ω。
   • 临界阻尼：𝑛=𝜔n=ω。

4. 三种情形下的解：

   (i) 小阻尼（欠阻尼）： 当 𝑛<𝜔n<ω，特征方程有一对共轭复根： 𝑟=−𝑛±𝑖𝜔2−𝑛2=−𝑛±𝑖𝑤.r=−n±iω2−n2​=−n±iw. 此时，通解为： 𝑥(𝑡)=𝑒−𝑛𝑡(𝐶1cos⁡𝑤𝑡+𝐶2sin⁡𝑤𝑡).x(t)=e−nt(C1​coswt+C2​sinwt). 其中，𝑤=𝜔2−𝑛2w=ω2−n2​。

   根据初值条件 𝑥(0)=𝑥0x(0)=x0​ 和 𝑥′(0)=𝑣0x′(0)=v0​，可以求出常数 𝐶1C1​ 和 𝐶2C2​： 𝐶1=𝑥0,𝐶2=𝑣0+𝑛𝑥0𝑤.C1​=x0​,C2​=wv0​+nx0​​.

   (ii) 大阻尼： 当 𝑛>𝜔n>ω，特征方程有两个不同的实根： 𝑟1=−𝑛+𝑛2−𝜔2,𝑟2=−𝑛−𝑛2−𝜔2.r1​=−n+n2−ω2​,r2​=−n−n2−ω2​. 通解为： 𝑥(𝑡)=𝐶1𝑒𝑟1𝑡+𝐶2𝑒𝑟2𝑡.x(t)=C1​er1​t+C2​er2​t. 根据初值条件求出 𝐶1C1​ 和 𝐶2C2​：

   (iii) 临界阻尼： 当 𝑛=𝜔n=ω，特征方程有两个相等的实根： 𝑟1=𝑟2=−𝑛.r1​=r2​=−n. 通解为： 同样，根据初值条件可以求出常数 𝐶1C1​ 和 𝐶2C2​。

小结

不同阻尼条件下的自由振动规律可以通过微分方程的特解来描述：

• 欠阻尼：物体的振动呈现出随时间逐渐减弱的正弦振动。
• 大阻尼：物体缓慢向平衡位置移动，不再振动。
• 临界阻尼：达到阻尼最大值使得物体最迅速恢复到平衡位置。

 

 

例6：求方程 𝑦(4)−2𝑦′′′+5𝑦′′=0y(4)−2y′′′+5y′′=0 的通解。

解析步骤：

1. 建立特征方程： 𝑟4−2𝑟3+5𝑟2=0.r4−2r3+5r2=0. 提取公因式 𝑟2r2 得： 𝑟2(𝑟2−2𝑟+5)=0.r2(r2−2r+5)=0.

2. 解特征方程：

   • 方程 𝑟2=0r2=0 的根是 𝑟1=𝑟2=0r1​=r2​=0，为重根。
   • 方程 𝑟2−2𝑟+5=0r2−2r+5=0 的根是 𝑟3,4=1±2𝑖r3,4​=1±2i，为一对共轭复根。

3. 写出微分方程的通解：

   • 对于根 𝑟1=𝑟2=0r1​=r2​=0，对应的解是 𝐶1+𝐶2𝑥C1​+C2​x。
   • 对于共轭复根 1±2𝑖1±2i，解为 𝑒𝑥(𝐶3cos⁡2𝑥+𝐶4sin⁡2𝑥)ex(C3​cos2x+C4​sin2x)。
   • 综合所有解，微分方程的通解为： 𝑦=𝐶1+𝐶2𝑥+𝑒𝑥(𝐶3cos⁡2𝑥+𝐶4sin⁡2𝑥).y=C1​+C2​x+ex(C3​cos2x+C4​sin2x).

例7：求方程 𝑦(4)+𝛽4=0y(4)+β4=0 的通解。

解析步骤：

1. 建立特征方程： 𝑟4+𝛽4=0.r4+β4=0. 可以重写为： (𝑟2+𝛽2)2−2𝛽2𝑟2=(𝑟2−2𝛽𝑟+𝛽2)(𝑟2+2𝛽𝑟+𝛽2)=0.(r2+β2)2−2β2r2=(r2−2​βr+β2)(r2+2​βr+β2)=0.

2. 解特征方程：

   • 第一部分 𝑟2−2𝛽𝑟+𝛽2=0r2−2​βr+β2=0 的解为 𝑟1,𝑟2=2𝛽2±𝑖2𝛽2r1​,r2​=22​β​±i22​β​.
   • 第二部分 𝑟2+2𝛽𝑟+𝛽2=0r2+2​βr+β2=0 的解为 𝑟3,𝑟4=−2𝛽2±𝑖2𝛽2r3​,r4​=−22​β​±i22​β​.

3. 写出微分方程的通解：

   • 

这两个例子展示了如何处理具有复根和重根的高阶常系数齐次线性微分方程，通过解特征方程来确定通解的形式。