1

有效值
截断误差
余项

2 插值

插值：有几个点的坐标，求一个f(x)经过这几个点，f(x)是一个多项式函数。
定理：这个多项式函数是唯一的。
拉格朗日插值法 每一项基底都是所有点的信息，不利于更新公式。
牛顿插值法 根据差分（均差）计算每一项，增加一个点信息，只用更新一个更高阶的均差，方便。
埃尔米特插值法：f(x)不光经过所有点，某一个点还会给出导数信息，f(x)需要满足这个导数信息。
三次样条插值法：要知道一些边界条件才能求解。

3 逼近与拟合

函数的范数（度量大小）：

函数的内积：

正交多项式序列，序列里每一个函数和其他的函数内积都是0，和自己内积不是0.

用斯密特方法构造序列，必须有权函数，必须有区间，首项是1.一个一个算，常用的可以记住。

还有一些出名的正交多项式序列。
勒让德多项式，Pn与自己的内积如图。
勒让德多项式前几项记住：P0=1
p1=x
p2=1/2*(3x^2-1)
p3=1/2x*(5x^2-3)

这个不考，可以不记。

最佳一致逼近问题其实就是找一个Pn多项式能使得误差函数的无穷范数最小。

2-范数搞出来的就是最佳平方逼近。

矩阵H条件数越大，矩阵就越病态。
条件数cond（A）= ||A||||A逆|| 取啥范数都行。（病态其实就是矩阵里面的每一行都作为向量基去张成空间的话，很难表示，因为每一个向量基都差不多），这导致变化一点，解的差异就很大。

用法方程就可以求最佳平方逼近。希尔波特矩阵是用正交多项式序列1,x,x^2,等等计算出来的，高度病态，用这些基去张成函数是不好的。
所以这个正交多项式序列是不好的。


重点：最小二乘法拟合离散点。
法方程Ga=d。

4 数值积分

f(x)没有原函数，就无法用牛顿莱布尼兹公式求积分，就只能数值积分。
梯形公式和它的余项。

m次代数精度。

知道m后，就能够知道余项。余项K需要用下图最低下那个公式求解。

中矩形公式和余项。

弄很多节点，节点之间距离是相等的。



1次代数精度：

2n+1次代数精度，所有求积公式里最高的。
高斯公式里取点不是等分的，每个点就叫高斯点。用勒让德多项式得到的高斯点。Ak这个比例也是不一样的。


取高斯点，取2个的。取3个的。

5 解线性方程组的直接方法（就是矩阵论的东西）

6 解线性方程组的迭代法

矩阵谱半径小于1就会收敛。收敛速度取决于谱半径。

给一个初始解x，即可迭代。

收敛吗：-D^(-1)*(L+U)谱半径小于1就收敛。

xk的迭代结果代入x(k+1)进行计算。

一个例子

新的值和旧的值取一个权重。

一个例子。

快速判断迭代法收敛与否。

超松弛w大于等于1，小于2.

7 不动点迭代法

收敛不收敛（不动点存在）怎么看：

不动点迭代法是几阶收敛的？
一阶导(x)=0，然后一直算，前p-1阶导都等于0，但p阶岛不等于0，就说是p阶收敛。

牛顿迭代法。当f(x)无重根，2阶收敛。当f(x)有重根，1阶收敛。

求立方根的牛顿法：

a = float(input())
x = 1
while 1: #迭代
    x = x-(x*x*x-a)/(3*x*x)  #　牛顿不动点迭代法
    if x*x*x-a<1e-2:
        break
print('%0.1f' % x)

改进牛顿迭代法。
牛顿下山法。

8 常微分方程的数值解法

精度
局部截断误差
收敛问题
稳定与否

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