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作正多边形

正n边形的内角：x = (n - 2) * 180° / n

import turtle

# 正n边形参数
n = 7
x = (n - 2) * 180 / n

# 调整画笔速度
turtle.speed(1)
# 调整画笔颜色
turtle.color('green')
# 调整画笔宽度
turtle.pensize(3)

for _ in range(n):
	# 画笔向前移动
	turtle.forward(100)
	# 画笔方向顺时针旋转
	turtle.right(180 - x)

turtle.done()

作正多角形

最简单的多角形就是五角星形

计算内角

下面是我的方法，如果同学有自己的方法，欢迎在评论区分享。

如图所示，五角星中间有个正五边形，计算得正五边形的内角为108°
图中的小三角形是等腰三角形，所以五角星的锐内角为(180 - 2*72) = 36°
正六边形，正七边形……同理。
所以得到正n角形锐内角公式：z = 2x - 180 其中：x = (n - 2) * 180 / n
化简得：z = (1 - 4/n) * 180°

画图代码

import turtle

# 正n角形参数
n = 7
# 计算正n边形内角
x = (n - 2) * 180 / n
# 计算正n角形锐内角
z = (1 - 4/n) * 180

# 调整画笔速度
turtle.speed(1)
# 调整画笔颜色
turtle.color('green')
# 调整画笔宽度
turtle.pensize(3)

for _ in range(n):
    """每次画一个角"""
    turtle.forward(50)
    turtle.right(180 - z)
    turtle.forward(50)
    turtle.left(180 - x)

turtle.done()

作棱角分明的多角形

如果正n角形，每次都把两个相邻顶点连起来，那么随着n的增加，图像将趋近于⚪

正19角形图如下：

所以，我们要让两个最远的顶点连起来

观察棱角分明的多角形

不妨大胆猜测规律：
n为奇数，棱角分明的正n边形锐顶角：w = (n-1)/2 * x - (n-3)/2 * 180
又 x = (n - 2)*180 / n
化简得：w = 180 / n
对于n为偶数，画图分析后，得出结论：w = 360 / n

简洁的结论

棱角分明的正n角形锐顶角w
w = 180 / n (n为奇数)
w = 360 / n (n为偶数)
统一公式：w = 90/n * (3+(-1)ⁿ)

代码

import turtle

# 正n角形参数
n = 7
# 计算棱角分明的正n角形锐内角
w = 90/n * (3 + (-1)**n)

# 调整画笔速度
turtle.speed(3)
# 调整画笔颜色
turtle.color('green')
# 调整画笔宽度
turtle.pensize(3)

for _ in range(n):
    """每次一条边加转向"""
    turtle.forward(150)
    turtle.right(180 - w)

turtle.done()

代码存在的问题

代码根据锐顶角来画图，而锐顶角由结论来计算。

棱角分明的正n角形锐顶角w
w = 180 / n (n为奇数)
w = 360 / n (n为偶数)

存在奇数n1，偶数n2使得w1==w2。如3和6、5和10、7和14……
这些奇偶对得到的w相同，所以画出的图形相同。
想象中，正10角形是这样的：

实际上是这样的：

问题分析

1. 只看奇数，所有的奇数中不可能产生相同的w。
2. 把偶数分为两类：是4的倍数，不是4的倍数。
3. 不是4的倍数，360 / n 约去2后，变为 180 / 奇数，必存在一奇数的w与之相等。所以，程序无法画出（可以另写程序画出）。

高斯与正十七边形

李永乐老师讲正十七边形

下图是网友提供的高斯墓碑图：

作出正十七角形

总结

turtle画图形，方向旋转360°时，回到原来的方向，可以以此来计算循环画图次数。
画作多边形时，很多结论都是通过画图，肉眼观察出来的，缺乏严密证明。
最后，如果同学们发现文中错误，欢迎指正。