本文章所有知识点均为作者本人学习刘杰、李允公等老师的教材《智能控制与MATLAB实用技术》时所作笔记，在此发自肺腑地表达对老师们辛勤劳动的感谢和尊敬，也安利一下这本书，对入门智能控制的同学们来说是一本极其优秀的教材！

模糊集合

1. 基本概念

(1) 论域，即为全集，用大写字母表示，$X,V$等。
(2) 集合，论域中具有性质$p$的元素的全体称为集合，表示为 A = { x ∣ p ( x ) } A=\{x|p(x)\} A={x∣p(x)}。
(3) 并集。$A$与$B$的并集运算为： A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B } A \cup B = \{ x|x \in A \vee x \in B \} A∪B={x∣x∈A∨x∈B}其中$\vee$符号表示取大值。
(4) 交集。$A$与$B$的交集运算为： A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B } A \cap B=\{ x|x \in A \wedge x \in B \} A∩B={x∣x∈A∧x∈B}其中，符号$\wedge$表示取小值。
(5) 补集。$A$的补集为 A C = { x ∣ x ∉ A } A^C=\{ x|x \notin A \} AC={x∣x∈/​A}。

2. 特征函数

设有集合$A$，其特征函数记为
$$G_A(x)=\{\begin{array}{l}1(x\in A)\\ 0(x\notin A)\end{array}$$1表示元素属于集合，0表示不属于。

特征函数是一个二值函数。

3. 模糊集合

笼统地来说，对于实际中的很多情况，我们无法定量确定其性质，大多数情况下都是用一种“模糊”的概念来描述，如“温度较高”“水位较浅”等，甚至“$x$比$y$大一些”“$x$非常大，而$y$比较适中”等。在这种情况下，很难确定所描述的对象应该被划在哪种集合里。

相应地，上述问题可以转化为“所描述的对象对于某个集合的隶属度高/不高/比较低（……）”等。

那么，特征函数如果不仅仅取 { 0 , 1 } \{0,1 \} {0,1}，而是$[0,1]$，这样其取值就不再是二元性的了，而是一种连续的取值。

定义 若对于论域$X$，如果存在一实值函数${\mu }_A$，使得$${\mu }_A:X\to [0,1]$$则$A$为论域$X$上的模糊集合，特征函数${\mu }_A(x)$称为隶属函数，表示$x$在${\mu }_A(x)$程度上隶属于集合$A$。${\mu }_A(x)=0$表示$x$不属于集合$A$，反之则属于。

需要注意的是，很多情况下，隶属度取值的确定是一个主观的定义，答案不唯一。

表示模糊集合的方法：

1) 向量表示法

$$A=\left({\mu }_A(x_1),{\mu }_A(x_2),\cdots ,{\mu }_A(x_n)\right)$$要按顺序写出所有元素的隶属度，不能省略为0的项。

2) Zadeh表示法（Zadeh也是模糊集合理论的创始人）

$$A=\frac{{\mu }_A(x_1)}{x_1}+\frac{{\mu }_A(x_2)}{x_2}+\cdots +\frac{{\mu }_A(x_n)}{x_n}$$需要注意，$\frac{{\mu }_A(x_i)}{x_i}$不是分数，“+”也不是相加。
该方法中，隶属度为0的项可以忽略。

3) 序偶表示法

A = { ( x 1 , μ A ( x 1 ) ) , ( x 2 , μ A ( x 2 ) ) , ⋯   , ( x n , μ A ( x n ) ) } A=\left\{ \left( x_1, \mu_A(x_1) \right),\left( x_2, \mu_A(x_2) \right), \cdots, \left( x_n, \mu_A(x_n) \right) \right\} A={(x1​,μA​(x1​)),(x2​,μA​(x2​)),⋯,(xn​,μA​(xn​))}

4. 隶属函数

隶属函数的确定必须满足的条件：必须使模糊集合为凸模糊集合，即隶属函数的曲线必须是单峰的。

一些基本的隶属函数形式：
(1) 三角形
$$f(x)=\{\begin{array}{l}0(x\le a)\\ \frac{x-a}{b-a}(a\le x\le b)\\ \frac{c-x}{c-b}(b\le x\le c)\\ 0(x\ge c)\end{array}$$(2) 钟形
$$f(x)=\frac{1}{1+{\left|\frac{x-c}{a}\right|}^{2b}}$$(3) 梯形
$$f(x)=\{\begin{array}{l}0(x\le a)\\ \frac{x-a}{b-a}(a\le x\le b)\\ 1(b\le x\le c)\\ \frac{d-x}{d-c}(c\le x\le d)\\ 0(x\ge d)\end{array}$$(4) 高斯型
$$f(x)=e^{-\frac{(x-c{)}^2}{2{\sigma }^2}}$$(5) Sigmoid型：
$$f(x)=\frac{1}{1+e^{-a(x-c)}}$$

5. 模糊集合的运算和性质

$A\cup B$的隶属函数：$${\mu }_{A\cup B}(x)={\mu }_A(x)\vee {\mu }_B(x)=\max \left({\mu }_A(x),{\mu }_B(x)\right)$$即两集合中各元素隶属度取大值。
$A\cap B$的隶属函数：$${\mu }_{A\cap B}(x)={\mu }_A(x)\wedge {\mu }_B(x)=\min \left({\mu }_A(x),{\mu }_B(x)\right)$$即两集合中各元素隶属度取小值。
$A^C$的隶属函数：$${\mu }_{A^C}(x)=1-{\mu }_A(x)$$

常用性质：

1. 幂等律。$A\cup A=A,A\cap A=A$。
2. 交换律。$A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$。
3. 结合律。$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C),(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$。
4. 分配率。$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C),(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$。
5. 吸收率。$(A\cup B)\cap A=A,(A\cap B)\cup A=A$。
6. 对偶率。$(A\cup B{)}^C=A^C\cap B^C,(A\cap B{)}^C=A^C\cup B^C$。
   注意：$A\cup A^C\ne E,A\cap A^c\ne \varnothing$，其中$E$为全集。