【UAV】从单个螺旋桨到四旋翼无人机运动学分析
文章目录单个螺旋桨受力分析坐标变化四个螺旋桨对无人机的影响单个螺旋桨受力分析单个螺旋桨发生旋转时，如上图 M1M1M1 和 M2M2M2，会产生向上的升力 T1,T2T_1, T_2T1,T2 和旋转力矩 M1,M2M_1, M_2M1,M2，升力方向垂直螺旋桨竖直向上，旋转力矩方向一般假设为平行于飞机所在平面，垂直于机臂。坐标变化在分析四个螺旋桨对无人机的影响之前，还建立两个坐标系，分别
1 单个螺旋桨受力分析
单个螺旋桨发生旋转时，如上图 M 1 M1 M1 和 M 2 M2 M2，会产生向上的升力 T 1 , T 2 T_1, T_2 T1,T2 和旋转力矩 M 1 , M 2 M_1, M_2 M1,M2，升力方向垂直螺旋桨竖直向上，旋转力矩方向一般假设为平行于飞机所在平面，垂直于机臂。
2 坐标变化
在分析四个螺旋桨对无人机的影响之前，先建立两个坐标系，分别是世界坐标系 S g S_g Sg 和机体坐标系 S b S_b Sb。同时给出二者之间的转换关系。
在世界坐标系 S g S_g Sg 与机体坐标系 S b S_b Sb 之间的转换矩阵为：
M g 2 b = [ cos θ cos ψ cos θ sin ψ − sin θ sin ϕ sin θ cos ψ − cos ϕ sin ψ sin ϕ sin θ sin ψ + cos ϕ cos ψ sin ϕ cos θ cos ϕ sin θ cos ψ + sin ϕ sin ψ cos ϕ sin θ sin ψ − sin ϕ cos ψ cos ϕ cos θ ] M_{g2b} = \left[\begin{matrix} \cos\theta \cos\psi & \cos\theta \sin\psi & -\sin\theta \\ \sin\phi \sin\theta \cos\psi - \cos\phi \sin\psi & \sin\phi \sin\theta \sin\psi + \cos\phi \cos\psi & \sin\phi \cos\theta \\ \cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi & \cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi & \cos\phi \cos\theta \\ \end{matrix}\right] Mg2b=⎣ ⎡cosθcosψsinϕsinθcosψ−cosϕsinψcosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosθsinψsinϕsinθsinψ+cosϕcosψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψ−sinθsinϕcosθcosϕcosθ⎦ ⎤
地面坐标系与机体坐标系之间的转换满足方程式（关于这个矩阵关系的替换请参考）
S
b
=
M
g
2
b
⋅
S
g
或
S
g
=
M
b
2
g
⋅
S
b
S_b = M_{g2b} \cdot S_g ~~ \text{或} ~~ S_g = M_{b2g} \cdot S_b
Sb=Mg2b⋅Sg 或 Sg=Mb2g⋅Sb
M b 2 g = [ cos θ cos ψ sin ϕ sin θ cos ψ − cos ϕ sin ψ cos ϕ sin θ cos ψ + sin ϕ sin ψ cos θ sin ψ sin ϕ sin θ sin ψ + cos ϕ cos ψ cos ϕ sin θ sin ψ − sin ϕ cos ψ − sin θ sin ϕ cos θ cos ϕ cos θ ] M_{b2g}= \left[\begin{matrix} \cos\theta \cos\psi & \sin\phi \sin\theta \cos\psi - \cos\phi \sin\psi & \cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi \\ \cos\theta \sin\psi & \sin\phi \sin\theta \sin\psi + \cos\phi \cos\psi & \cos\phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi \\ -\sin\theta & \sin\phi \cos\theta & \cos\phi \cos\theta \\ \end{matrix}\right] Mb2g=⎣ ⎡cosθcosψcosθsinψ−sinθsinϕsinθcosψ−cosϕsinψsinϕsinθsinψ+cosϕcosψsinϕcosθcosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψcosϕcosθ⎦ ⎤
关于坐标系转换的详细推导过程请参考：第5章-无人机UAV模型分析。
3 四个螺旋桨对无人机的影响
根据建立的机体坐标与无人机机臂关系的不同，无人机可以分为“十”字飞行模式和“X”型飞行模式，分别如下图左和图右所示。关于“十”字飞行模式，讨论的较多。但是在实际飞行时，使用“X”型模式的更多。因此我们在这里使用“X”型坐标来进行以下的分析。
3.1 旋翼对位置的影响
关于飞机对
Z
b
Z_b
Zb 轴的影响，比较好理解，同时提升螺旋桨的升力
T
i
T_i
Ti，无人机便垂直提升，于是有
T
Z
b
=
T
1
+
T
2
+
T
3
+
T
4
(1)
T_{Z_b} = T_1 + T_2 + T_3 + T_4 \tag{1}
TZb=T1+T2+T3+T4(1)
其中 T Z b T_{Z_b} TZb 表示在机体坐标系的 Z b Z_b Zb 轴飞机受到的力。
这时候先别着急利用牛二定律映射到加速度 Z ¨ b \ddot{Z}_b Z¨b 上，要不然往下不好转换。
这里先不考虑重力加速度的影响，因为现在 Z b Z_b Zb 还是机体坐标系下的值。并且机体坐标系会变，而重力加速度相对于世界坐标系是恒定不变的。
但如论如何更改四个螺旋桨的升力，都不会产生在
X
b
X_{b}
Xb 和
Y
b
Y_{b}
Yb 方向的改变，因此有
T
X
b
=
0
(2)
T_{X_b} = 0 \tag{2}
TXb=0(2)
T Y b = 0 (3) T_{Y_b} = 0 \tag{3} TYb=0(3)
3.2 旋翼对姿态角影响
同时无人机还具有三个姿态角，分别是滚转角 ϕ \phi ϕ，俯仰角 θ \theta θ，航向角 ψ \psi ψ，注意这三个姿态角是相对于机体坐标系 S b S_b Sb 而言的。那它们是如何变化的呢？
首先研究比较简单的航向角 ψ \psi ψ。我们知道螺旋桨在旋转时会产生一个旋转力矩，而由于四个螺旋桨产生的旋转力矩刚好是相邻两个互为相反方向，因此刚好抵消掉。否则无人机将会发生原地旋转。那么我们想要让无人机发生原地旋转，就可以通过调整四个螺旋桨的转速实现。注意，这时候无论是“十”字还是“X”型模式都是一样的。比如我们可以通过同时减小 M 1 ( T 1 ) , M 3 ( T 3 ) M_1(T_1), M_3(T_3) M1(T1),M3(T3)，提高 M 2 ( T 2 ) , M 4 ( T 4 ) M_2(T_2), M_4(T_4) M2(T2),M4(T4)，那么飞机在保持总的升力不变的情况下，会发生逆时针旋转，达到改变航向角的目的。
不考虑空气阻力时，有
ψ
¨
=
(
−
M
1
+
M
2
−
M
3
+
M
4
)
I
z
(4)
\ddot{\psi} = \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4)}{I_z} \tag{4}
ψ¨=Iz(−M1+M2−M3+M4)(4)
考虑空气阻力时，有
ψ
¨
=
(
−
M
1
+
M
2
−
M
3
+
M
4
−
K
6
ψ
˙
)
I
z
(4)
\ddot{\psi} = \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4 - K_6 \dot{\psi})}{I_z} \tag{4}
ψ¨=Iz(−M1+M2−M3+M4−K6ψ˙)(4)
其中 K 6 K_6 K6 是阻力系数（drag coefficient），由空气动力学决定的。
而改变滚转角 ϕ \phi ϕ 和俯仰角 θ \theta θ，则是利用的飞机四个螺旋桨的升力差。首先是滚转角 ϕ \phi ϕ，因为滚转角是围绕 X b X_b Xb 轴发生转动，结合图可知，我们需要提升 T 2 , T 3 T_2, T_3 T2,T3，减小 T 1 , T 4 T_1, T_4 T1,T4。同理，改变俯仰角 θ \theta θ，俯仰角是围绕 Y b Y_b Yb 轴发生转动，因此提升 T 1 , T 2 T_1, T_2 T1,T2，减小 T 3 , T 4 T_3, T_4 T3,T4。
不考虑空气阻力时，有
ϕ
¨
=
L
(
−
T
1
+
T
2
+
T
3
−
T
4
)
I
x
(5)
\ddot{\phi} = \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4)}{I_x} \tag{5}
ϕ¨=IxL(−T1+T2+T3−T4)(5)
θ ¨ = L ( T 1 + T 2 − T 3 − T 4 ) I y (6) \ddot{\theta} = \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4)}{I_y} \tag{6} θ¨=IyL(T1+T2−T3−T4)(6)
考虑空气阻力时，有
ϕ
¨
=
L
(
−
T
1
+
T
2
+
T
3
−
T
4
−
K
4
ϕ
˙
)
I
x
(5)
\ddot{\phi} = \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4 - K_4 \dot{\phi})}{I_x} \tag{5}
ϕ¨=IxL(−T1+T2+T3−T4−K4ϕ˙)(5)
θ ¨ = L ( T 1 + T 2 − T 3 − T 4 − K 5 θ ˙ ) I y (6) \ddot{\theta} = \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4 - K_5 \dot{\theta})}{I_y} \tag{6} θ¨=IyL(T1+T2−T3−T4−K5θ˙)(6)
这里用到了一点力矩和角动量的关系，请参考【控制】四旋翼无人机姿态角分析。
4 机体坐标下的输出量
这样我们便得到了无人机六个输出量的表达式（注意这时候没考虑重力，且受力分析是在机体坐标系下的）。
{
T
X
b
=
0
T
Y
b
=
0
T
Z
b
=
T
1
+
T
2
+
T
3
+
T
4
ϕ
¨
=
L
(
−
T
1
+
T
2
+
T
3
−
T
4
−
K
4
ϕ
˙
)
I
x
θ
¨
=
L
(
T
1
+
T
2
−
T
3
−
T
4
−
K
5
θ
˙
)
I
y
ψ
¨
=
(
−
M
1
+
M
2
−
M
3
+
M
4
−
K
6
ψ
˙
)
I
z
(7)
\left\{\begin{aligned} T_{X_b} &= 0 \\ T_{Y_b} &= 0 \\ T_{Z_b} &= T_1 + T_2 + T_3 + T_4 \\ \ddot{\phi} &= \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4 - K_4 \dot{\phi})}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4 - K_5 \dot{\theta})}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4 - K_6 \dot{\psi})}{I_z} \\ \end{aligned}\right. \tag{7}
⎩
⎨
⎧TXbTYbTZbϕ¨θ¨ψ¨=0=0=T1+T2+T3+T4=IxL(−T1+T2+T3−T4−K4ϕ˙)=IyL(T1+T2−T3−T4−K5θ˙)=Iz(−M1+M2−M3+M4−K6ψ˙)(7)
当飞机在低速飞行时，阻力系数常常可以忽略，因此可以有
{
T
X
b
=
0
T
Y
b
=
0
T
Z
b
=
T
1
+
T
2
+
T
3
+
T
4
ϕ
¨
=
L
(
−
T
1
+
T
2
+
T
3
−
T
4
)
I
x
θ
¨
=
L
(
T
1
+
T
2
−
T
3
−
T
4
)
I
y
ψ
¨
=
(
−
M
1
+
M
2
−
M
3
+
M
4
)
I
z
(7)
\left\{\begin{aligned} T_{X_b} &= 0 \\ T_{Y_b} &= 0 \\ T_{Z_b} &= T_1 + T_2 + T_3 + T_4 \\ \ddot{\phi} &= \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4)}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4)}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4)}{I_z} \\ \end{aligned}\right. \tag{7}
⎩
⎨
⎧TXbTYbTZbϕ¨θ¨ψ¨=0=0=T1+T2+T3+T4=IxL(−T1+T2+T3−T4)=IyL(T1+T2−T3−T4)=Iz(−M1+M2−M3+M4)(7)
在机体坐标下的位置状态 X b , Y b , Z b X_b, Y_b, Z_b Xb,Yb,Zb 不方便我们的研究，因此我们通过坐标变换，转换到世界坐标 S g S_g Sg 下。
5 位置变量转换到世界坐标系
因为之前先忽略了重力的影响，接下来我们需要把重力加速度考虑进去。
首先将无人机收到的在机体坐标系下的力 T X b , T Y b , T Z b T_{X_b}, T_{Y_b}, T_{Z_b} TXb,TYb,TZb 转换到世界坐标系下。同时加上在 Z g Z_g Zg 轴的重力加速度的影响。
[ T X g T Y g T Z g ] = [ cos θ cos ψ sin ϕ sin θ cos ψ − cos ϕ sin ψ cos ϕ sin θ cos ψ + sin ϕ sin ψ cos θ sin ψ sin ϕ sin θ sin ψ + cos ϕ cos ψ cos ϕ sin θ sin ψ − sin ϕ cos ψ − sin θ sin ϕ cos θ cos ϕ cos θ ] [ T X b T Y b T Z b ] = [ cos ϕ sin θ cos ψ + sin ϕ sin ψ cos ϕ sin θ sin ψ − sin ϕ cos ψ cos ϕ cos θ ] ( T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ) − [ 0 0 m g ] (8) \begin{aligned} \left[\begin{matrix} T_{X_g} \\ T_{Y_g} \\ T_{Z_g} \\ \end{matrix}\right]&= \left[\begin{matrix} \cos\theta \cos\psi & \sin\phi \sin\theta \cos\psi - \cos\phi \sin\psi & \cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi \\ \cos\theta \sin\psi & \sin\phi \sin\theta \sin\psi + \cos\phi \cos\psi & \cos\phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi \\ -\sin\theta & \sin\phi \cos\theta & \cos\phi \cos\theta \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} T_{X_b} \\ T_{Y_b} \\ T_{Z_b} \\ \end{matrix}\right] \\ &= \left[\begin{matrix} \cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi \\ \cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi \\ \cos\phi \cos\theta \\ \end{matrix}\right] (T_1 + T_2 + T_3 + T_4) - \left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ m g \\ \end{matrix}\right] \end{aligned} \tag{8} ⎣ ⎡TXgTYgTZg⎦ ⎤=⎣ ⎡cosθcosψcosθsinψ−sinθsinϕsinθcosψ−cosϕsinψsinϕsinθsinψ+cosϕcosψsinϕcosθcosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψcosϕcosθ⎦ ⎤⎣ ⎡TXbTYbTZb⎦ ⎤=⎣ ⎡cosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψcosϕcosθ⎦ ⎤(T1+T2+T3+T4)−⎣ ⎡00mg⎦ ⎤(8)
这时候再考虑使用牛二定律，转换到加速度上。此时的加速度刚好是在世界坐标系下的。
T X g = m X ¨ g = ( cos ϕ sin θ cos ψ + sin ϕ sin ψ ) ( T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ) (9) T_{X_g} = m \ddot{X}_g = (\cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4) \tag{9} TXg=mX¨g=(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)(T1+T2+T3+T4)(9)
T Y g = m Y ¨ g = ( cos ϕ sin θ sin ψ − sin ϕ cos ψ ) ( T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ) (10) T_{Y_g} = m \ddot{Y}_g = (\cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4) \tag{10} TYg=mY¨g=(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)(T1+T2+T3+T4)(10)
T Z g = m Z ¨ g = ( cos ϕ cos θ ) ( T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ) − m g (11) T_{Z_g} = m \ddot{Z}_g = (\cos\phi \cos\theta)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4) - mg \tag{11} TZg=mZ¨g=(cosϕcosθ)(T1+T2+T3+T4)−mg(11)
无人机的六个输出量，其中加速度是在世界坐标系下：
{
X
¨
g
=
(
cos
ϕ
sin
θ
cos
ψ
+
sin
ϕ
sin
ψ
)
(
T
1
+
T
2
+
T
3
+
T
4
)
m
Y
¨
g
=
(
cos
ϕ
sin
θ
sin
ψ
−
sin
ϕ
cos
ψ
)
(
T
1
+
T
2
+
T
3
+
T
4
)
m
Z
¨
g
=
(
cos
ϕ
cos
θ
)
(
T
1
+
T
2
+
T
3
+
T
4
)
m
−
g
ϕ
¨
=
L
(
−
T
1
+
T
2
+
T
3
−
T
4
−
K
4
ϕ
˙
)
I
x
θ
¨
=
L
(
T
1
+
T
2
−
T
3
−
T
4
−
K
5
θ
˙
)
I
y
ψ
¨
=
(
−
M
1
+
M
2
−
M
3
+
M
4
−
K
6
ψ
˙
)
I
z
(12)
\left\{\begin{aligned} \ddot{X}_g &= \frac{(\cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} \\ \ddot{Y}_g &= \frac{(\cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} \\ \ddot{Z}_g &= \frac{(\cos\phi \cos\theta)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} - g \\ \ddot{\phi} &= \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4 - K_4 \dot{\phi})}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4 - K_5 \dot{\theta})}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4 - K_6 \dot{\psi})}{I_z} \\ \end{aligned}\right. \tag{12}
⎩
⎨
⎧X¨gY¨gZ¨gϕ¨θ¨ψ¨=m(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)(T1+T2+T3+T4)=m(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)(T1+T2+T3+T4)=m(cosϕcosθ)(T1+T2+T3+T4)−g=IxL(−T1+T2+T3−T4−K4ϕ˙)=IyL(T1+T2−T3−T4−K5θ˙)=Iz(−M1+M2−M3+M4−K6ψ˙)(12)
同样，忽略了空气阻力影响时，有
{
X
¨
g
=
(
cos
ϕ
sin
θ
cos
ψ
+
sin
ϕ
sin
ψ
)
(
T
1
+
T
2
+
T
3
+
T
4
)
m
Y
¨
g
=
(
cos
ϕ
sin
θ
sin
ψ
−
sin
ϕ
cos
ψ
)
(
T
1
+
T
2
+
T
3
+
T
4
)
m
Z
¨
g
=
(
cos
ϕ
cos
θ
)
(
T
1
+
T
2
+
T
3
+
T
4
)
m
−
g
ϕ
¨
=
L
(
−
T
1
+
T
2
+
T
3
−
T
4
)
I
x
θ
¨
=
L
(
T
1
+
T
2
−
T
3
−
T
4
)
I
y
ψ
¨
=
(
−
M
1
+
M
2
−
M
3
+
M
4
)
I
z
(12)
\left\{\begin{aligned} \ddot{X}_g &= \frac{(\cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} \\ \ddot{Y}_g &= \frac{(\cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} \\ \ddot{Z}_g &= \frac{(\cos\phi \cos\theta)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} - g \\ \ddot{\phi} &= \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4)}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4)}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4)}{I_z} \\ \end{aligned}\right. \tag{12}
⎩
⎨
⎧X¨gY¨gZ¨gϕ¨θ¨ψ¨=m(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)(T1+T2+T3+T4)=m(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)(T1+T2+T3+T4)=m(cosϕcosθ)(T1+T2+T3+T4)−g=IxL(−T1+T2+T3−T4)=IyL(T1+T2−T3−T4)=Iz(−M1+M2−M3+M4)(12)
到这里我们的控制关系，也可以说是变量关系就明确了。知道了六个输出量 X g , Y g , Z g , ϕ , θ , ψ X_g, Y_g, Z_g, \phi, \theta, \psi Xg,Yg,Zg,ϕ,θ,ψ，通过上式就可以计算出四个螺旋桨的升力 T 1 , T 2 , T 3 , T 4 T_1, T_2, T_3, T_4 T1,T2,T3,T4 了，而扭矩 M 1 , M 2 , M 3 , M 4 M_1, M_2, M_3, M_4 M1,M2,M3,M4 和升力都与转速正相关，也可以理解成知道每个螺旋桨需要达到的转速了。
6 简化分析
不过因为我们不是专门研究空气动力学下无人机的飞行问题，因此接下来的讨论都将忽略空气阻力的影响。同时为了表示方便，我们假设
M
i
=
C
⋅
T
i
,
i
=
1
,
2
,
3
,
4
M_i = C \cdot T_i, i=1,2,3,4
Mi=C⋅Ti,i=1,2,3,4。定义四个变量与螺旋桨升力有如下关系，
[
u
f
u
ϕ
u
θ
u
ψ
]
=
[
1
1
1
1
−
L
L
L
−
L
L
L
−
L
−
L
−
C
C
−
C
C
]
[
T
1
T
2
T
3
T
4
]
=
[
T
1
+
T
2
+
T
3
+
T
4
(
−
T
1
+
T
2
+
T
3
−
T
4
)
L
(
T
1
+
T
2
−
T
3
−
T
4
)
L
(
−
T
1
+
T
2
−
T
3
+
T
4
)
C
]
(13)
\begin{aligned} \left[\begin{matrix} u_f \\ u_\phi \\ u_\theta \\ u_\psi \\ \end{matrix}\right]&= \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -L & L & L & -L \\ L & L & -L & -L \\ -C & C & -C & C \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} T_1 \\ T_2 \\ T_3 \\ T_4 \\ \end{matrix}\right] \\ &= \left[\begin{matrix} T_1 + T_2 + T_3 + T_4 \\ (-T_1 + T_2 + T_3 - T_4) L \\ (T_1 + T_2 - T_3 - T_4) L \\ (-T_1 + T_2 - T_3 + T_4) C \\ \end{matrix}\right] \end{aligned} \tag{13}
⎣
⎡ufuϕuθuψ⎦
⎤=⎣
⎡1−LL−C1LLC1L−L−C1−L−LC⎦
⎤⎣
⎡T1T2T3T4⎦
⎤=⎣
⎡T1+T2+T3+T4(−T1+T2+T3−T4)L(T1+T2−T3−T4)L(−T1+T2−T3+T4)C⎦
⎤(13)
这样，（12）就可以简化为
{
X
¨
g
=
(
cos
ϕ
sin
θ
cos
ψ
+
sin
ϕ
sin
ψ
)
u
f
m
Y
¨
g
=
(
cos
ϕ
sin
θ
sin
ψ
−
sin
ϕ
cos
ψ
)
u
f
m
Z
¨
g
=
(
cos
ϕ
cos
θ
)
u
f
m
−
g
ϕ
¨
=
u
ϕ
I
x
θ
¨
=
u
θ
I
y
ψ
¨
=
u
ψ
I
z
(14)
\left\{\begin{aligned} \ddot{X}_g &= \frac{(\cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi)~ u_f}{m} \\ \ddot{Y}_g &= \frac{(\cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi)~ u_f}{m} \\ \ddot{Z}_g &= \frac{(\cos\phi \cos\theta)~ u_f}{m} - g \\ \ddot{\phi} &= \frac{u_\phi}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{u_\theta}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{u_\psi}{I_z} \\ \end{aligned}\right. \tag{14}
⎩
⎨
⎧X¨gY¨gZ¨gϕ¨θ¨ψ¨=m(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ) uf=m(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ) uf=m(cosϕcosθ) uf−g=Ixuϕ=Iyuθ=Izuψ(14)
当UAV以低速进行飞行时，阻力系数可以忽略不计，即 K i = 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , 6 K_i=0,i=1,2,⋯,6 Ki=0,i=1,2,⋯,6。横滚角和俯仰角仅有较小的变化， sin ϕ ≈ ϕ , cos ϕ ≈ 1 , sin θ ≈ θ , cos θ ≈ 1 \sin\phi \approx \phi, \cos\phi \approx 1, \sin\theta \approx \theta, \cos\theta \approx 1 sinϕ≈ϕ,cosϕ≈1,sinθ≈θ,cosθ≈1，同时没有偏航角的变化， ψ = 0 \psi = 0 ψ=0。UAV飞行在固定高度， u h ≈ m g u_h \approx mg uh≈mg。
基于上述假设，UAV的模型式可以简化为
x
¨
=
g
θ
y
¨
=
−
g
ϕ
z
¨
=
u
h
/
m
−
g
ϕ
¨
=
u
ϕ
/
I
x
θ
¨
=
u
θ
/
I
y
ψ
¨
=
u
ψ
/
I
z
\begin{aligned} \ddot{x} &= g \theta \\ \ddot{y} &= -g \phi \\ \ddot{z} &= u_h / m - g \\ \ddot{\phi} &= u_\phi / I_x \\ \ddot{\theta} &= u_\theta / I_y \\ \ddot{\psi} &= u_\psi / I_z \\ \end{aligned}
x¨y¨z¨ϕ¨θ¨ψ¨=gθ=−gϕ=uh/m−g=uϕ/Ix=uθ/Iy=uψ/Iz
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