一阶隐式微分方程通常表示：$$F(x,y,y^{\prime })=0$$需要解决的四种类型：

• $$y=f(x,y^{\prime })$$
• $$x=f(y,y^{\prime })$$
• $$F(x,y^{\prime })=0$$
• $$F(y,y^{\prime })=0$$

类型一：$y=f(x,\frac{dy}{dx})$

• 令$$p=\frac{dy}{dx}$$于是，变成$$y=f(x,p)$$
• 不难想到，可以两边对$x$求偏导，于是变成$$p=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dx}$$
• （1）求解，得到$$p=\phi (x,c)$$代入原式，有$$y=f(x,\phi (x,c))$$
  • （2）若求出的解为$$x=\psi (p,c)$$则得到的参数形式通解为$$\{\begin{array}{l}x=\psi (p,c)\\ y=f(\psi (p,c),p)\end{array}$$
  • （3）若得到的通解为$$\Phi (x,p,c)=0$$则得到额通解为$$\{\begin{array}{l}\Phi (x,p,c)=0\\ y=f(x,p)\end{array}$$
• （2）与（3）中$p为参数,c为任意常数$

类型二：$x=f(y,\frac{dy}{dx})$

• 依然令$$p=\frac{dy}{dx}$$得到$$\frac{1}{p}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dx}$$
• 求得$$\Phi (y,p,c)=0$$于是通解为$$\{\begin{array}{l}x=f(y,p)\\ \Phi (y,p,c)=0\end{array}$$

一个题

求方程$${\left(\frac{dy}{dx}\right)}^3+2x\frac{dy}{dx}-y=0$$的解

解

• 令$p=\frac{dy}{dx}$,有$$y=p^3+2xp$$两边对$x$求导，有$$p=3p^2\frac{dp}{dx}+2x\frac{dp}{dx}+2p$$
• 经过求解，最终得到$p\ne 0$时，有 $$\frac{3p^4}{4}+x{p}^2=c$$发现可以求解出$x$，即$$x=\frac{c-\frac{3}{4}{p}^4}{p^2}$$
• 代入原方程中得到$$y=p^3+\frac{2\left(c-\frac{3}{4}{p}^4\right)}{p}$$
• $$\{\begin{array}{l}x=\frac{c}{p^2}-\frac{3}{4}{p}^2\\ y=\frac{2c}{p}-\frac{1}{2}{p}^3\end{array}p\ne 0$$当然$p=0$时的情况也要考虑：当$p=0$时，$y=0$也是方程的解

类型三：不显含y的方程$F(x,y^{\prime })=0$

• 依然令$p=\frac{dy}{dx}$(不过这里不是像之前那样对$x$求导，这里要让$dy=p\cdot dx$)
• 这里从几何的角度思考：$F(x,p)=0$可以看做是$Oxp$平面上的一条曲线，将曲线表示为参数形式$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$$
• 再由上面的$dy=p\cdot dx$,得到$$\mathrm{d}y=\psi (t){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$$两边积分$$y=\int \psi (t){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t+c$$
• 所以通解为$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\int \psi (t){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t+c\end{array}$$

类型四：不显含x的方程$F(y,y^{\prime })=0$

• 同类型三做法相似，令$p=\frac{dy}{dx}$，引入参数$t$ $$\{\begin{array}{l}y=\phi (t)\\ p=\psi (t)\end{array}$$
• 由$dy=pdx$得到$${\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\psi (t)\mathrm{d}x$$于是！！可以解出$$\mathrm{d}x=\frac{{\phi }^{\prime }(t)}{\psi (t)}\mathrm{d}t$$ $$x=\int \frac{{\phi }^{\prime }(t)}{\psi (t)}\mathrm{d}t+c$$
• 最终解为$$\{\begin{array}{l}x=\int \frac{{\phi }^{\prime }(t)}{\psi (t)}\mathrm{d}t+c\\ y=\phi (t)\end{array}$$
  • 还要注意$p=0$的情况，即$F(y,0)=0$,此时$y=k$，则$y=k$也是方程的解

今天戴十八给我带了她妈妈做滴鸭脖，结果她自己忍不住吃了一半？！最终还是在把对方喂胖的道路上同归于尽了