目录

逻辑代数

逻辑变量与逻辑常量

基本逻辑运算

与

或

非

常用组合逻辑运算

与非：

或非：

与或非：

 异或：

同或：

逻辑代数基本定理

1.代入定理

2.反演定理

3.对偶定理

逻辑运算公式

逻辑函数的化简

最小项

 公式化简法

卡诺图化简法

无关项：

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逻辑代数

布尔代数也称为逻辑代数。但是数字电路中信号分析运算只涉及到布尔代数的一部分。也就是说，布尔代数是进行电路分析运算的数学工具。所谓逻辑，就是事物的因果关系。逻辑函数简单理解就是从原因到结果的一个映射。

逻辑变量与逻辑常量

逻辑变量是逻辑代数中使用字母表示的变量。比如普通代数中函数 y = kx + b，就是使用字母来表示变量的。函数式表达了一个变量y与变量k、x、b之间的关系。逻辑函数 y = kx + b 同样表示的是这些变量之间的关系。

不同之处在于，逻辑变量只有0和1两种取值。也就是说，逻辑代数中出现的常量只有0和1。我们称0和1是逻辑常量。比如上面的函数式，如果k是一个常量，那么在普通代数中，它可以取任意的值，但是在逻辑代数中它只能取01。

基本逻辑运算

与

所有同时具备，结果发生。记作Y = A AND B = A & B = A·B = AB

逻辑门画法：（手绘轻喷） 

真值表：

输入A	输入B	输出Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

或

条件之一具备，结果发生。记作 Y = A OR B = A + B

逻辑门画法：

真值表：

输入A	输入B	输出Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

非

条件不具备，结果发生。记作Y = NOT A = Ā = A'

逻辑门画法：

 值得一提的是，不管三角形还是方框，都只是为了形式上更好看。后面的圈才是非门的主体。这个圈加在什么地方，就相当于在这里加一个非门。（在后面符合逻辑中会有例子）

真值表：

输入A	输出Y
0	1
1	0

常用组合逻辑运算

与非：

就是对与的结果取非。画电路图时，非门可以缩成一个圈附在与门后面，表示一个整体，是与非门

（鉴于教科书采用的这一套有特殊形状的表示符，因此后面只展示这一种画法了）

或非：

就是对或的结果取非。

与或非：

先取与，再对结果取或，再取非。

现在一定要熟悉这样一种结构。每一次运算都要通过门电路来实现，不能仅凭电路知识想当然。在未来会遭遇“线与”，如果处理不当是会出问题的（烧板子）。

 异或：

首先从名字上来理解这个运算：对相异的取或。它的表达式也确实是这样：Y = A'B + AB'

直观的看就是当两个变量的输入不同时输出为1。也就是相异时出1。

同或：

同样从名字上理解就是对相同的取或。Y = AB + A'B'

由后面将要讲到的摩根定理可以知道，同或=异或取非（在后面会有证明过程）

逻辑代数基本定理

1.代入定理

直观理解就是画框定理。对式子中任何一个变量画框，然后在框里面装上一切你想要装的东西。这里可以联想一下C语言编程的宏。我们把A定义成一个宏，虽然运算的时候写Y=A+B，但是A里面装什么内容其实是可以替换的。这里要注意代入定理的适用范围：逻辑等式

2.反演定理

加乘互换，0 1 互换，原反互换

也就是或运算和与运算互换，常量的0 和1 互换，所有逻辑变量全部取反。

使用反演定理可以方便的求出一个逻辑函数的反函数：

Y = A(B + C) + CD

Y1=(A+BC)(C+D) ……加乘、01互换

Y2=(A'+B'C')(C'+D') ……所有变量全部取反

Y'=A'C'+A'D'+B'C'+B'C'D'=A'C'+A'D'+B'C'

注意：

使用反演定理时：

• 注意加括号保持运算顺序不变。原来该先计算的，反演之后也先计算
• 注意取反只针对单个变量比如：（A'+B'+C')'，在取反时不操作外层的针对A'+B'+C'的反

3.对偶定理

加乘互换， 0 1 互换（其实是摩根定理和代入定理的组合形态）熟练使用对偶定理就可以少背一半公式

比如：

A(B+C)=AB+AC

A+(BC)=(A+B)(A+C) ……加乘、01互换

Y的对偶式用来表示

注意：

使用对偶定理时：

• 注意加括号保持运算顺序不变。原来该先计算的，对偶之后也先计算

逻辑运算公式

当然这里只介绍这些常用的啦

序号	公式	序号	公式
		10	1‘=0；0’=1
1	0A=0	11	1+A=1
2	1A=A	12	0+A=A
3	AA=A	13	A+A=A
4	AA'=0	14	A+A'=1
5	AB=BA	15	A+B=B+A
6	A(BC)=(AB)C	16	A+(B+C)=(A+B)+C
7	A(B+C)=AB+AC	17	A+BC=(A+B)(A+C)
8	(AB)'=A'+B'	18	(A+B)'=A'B'
9	(A')'=A

逻辑函数的化简

逻辑函数可以表达为多种形式，两种标准形式是最小项之和 以及 最大项之积。后面一种不常用，所以这里只介绍最小项之和。「最小项之和也称作标准与或表达式」

最小项

标准表达：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量都已原变量或反变量的形式在m中出现且仅出现一次，则这个乘积项m称为该函数的一个标准积项，通常称最小项。

直观理解：是一个“与”式，所有元素必须出来露面，还只能露面一次。

性质：

• 任意一个最小项，只有一组变量取值使其为1
• 任意两个不同最小项的乘积必为0
• 全部最小项的和必为1
• 具有相邻性的两个最小项可以合并

这里解释一下第一条：最小项是一个与式，也就是说所有条件都满足，这个式子才能为1。所有条件都满足，也就是最小项里面每个元素都有固定的取值，又因为最小项包含所有变量，因此也就对应了一组唯一的变量取值。举个例子：A'BC'D'，如果是最小项，那么它仅仅当A=0;B=1;C=0;D=0时才能取1，任何一个数改变，它就取0了。

由第一条可以很方便的推出下面的内容。

 公式化简法

除了手工多变量化简必须这样做以外，用途不大。简单介绍一下

基本思想：

• 把相同的提出来，凑出1，利用或运算消项
• 消去冗余项
  「冗余项：一个变量的原变量与反变量分别与其他变量与，这两个被与的变量单独取与（或者再加上其他无关变量）就是冗余项。举个例子：A'B+AC+BC，A的原变量和反变量分别和B、C与，那么这两个被与的变量单独与，组成的BC就是冗余项。如果BC带了其他无关变量，那仍然是冗余项，比如A'B+AC+BCXYZ，那么BCXYZ就是冗余项」
• 消去与式的某个因子
  单独的一个原变量，或上其反变量与无关变量的与式，那么这个反变量可以消去。举个例子：A+A'BC，A是单独的原变量，或上了反变量A'以及其他无关变量BC的与式，那么A'可以消去，原式=A+BC
• 加项
  利用1=A+A'，将某个与式展开，比如BC可以展开成BC1=BC(A+A')=ABC+A'BC，再结合其他方法化简
  或者增加冗余项，比如看到A'B+AC，自行增加冗余项BCD，再结合其他方法化简

卡诺图化简法

用几何方法解决代数问题 ！大家应该还记得格雷码这个东东。把逻辑相邻转化为几何相邻。卡诺图也是一样的。

	0	1
0	A'B'	A'B
1	AB'	AB

	00	01	11	10
0	A'B'C'	A'B'C	A'BC	A'BC'
1	AB'C'	ABC'	ABC	ABC'

	00	01	11	10
00	A'B'C'D'	A'B'C'D	A'B'CD	A'B'CD'
01	A'BC'D'	A'BC'D	A'BCD	A'BCD'
11	ABC'D'	ABC'D	ABCD	ABCD'
10	AB'C'D'	AB'C'D	AB'CD	AB'CD'

首先回忆一下最小项这个说法。n变量的逻辑函数，最小项中每个变量出来露一次脸，每个变量有两种取值，那总共有2^n个最小项的可能。这些可能中，出现在最终的与式中，能够左右局势的写1，没有出现的写0。就画出了卡诺图。

无关项：

无关项分为约束项和任意项。

约束项是指由于物理限制而不可能出现的取值。比如汽车的状态，只可能是前进、后退、停止的一种，不可能既前进又后退还停止。

任意项是指由于人为原因故意忽略的取值。比如从90-99分都是A等，那么个位数的值我们就可以忽略了。

因为无关项的存在不会影响输出，所以可以自由决定它们取0还是取1，用来帮助我们化简。卡诺图化简法和带有无关项式子的化简在这里就一并解释了。

eg：Y=A'CD'+A'BC'D'+AB'C'D'；约束条件：AB'CD'+AB'CD+ABC'D'+ABC'D+ABCD'+ABCD=0

首先把卡诺图画出来：

然后把无关项补进去，卡诺图里面使用×来表示无关项：

 

 根据最小项的性质，相邻最小项可以合并，而卡诺图里面几何位置相邻就表示最小项相邻。所以应该找尽可能多的相邻1和×，用圈圈起来，进行化简：

• 每个圈只能圈2^n个1或者×
• 卡诺图四个顶点相邻、左右两遍相邻、上下两遍相邻
• 1和×可以重复被圈，但每个圈必须有至少一个1是只被圈过一次的

 

 接下来可以根据圈来化简了：

蓝色：CD'

绿色：BD'

黄色：AD'

所以Y=AD'+BD'+CD'