集合论—集合的基本运算与主要算律

给定集合AAA和BBB，可以通过集合的并(∪)(\cup)(∪)、交(∩)(\cap)(∩)、相对补(−)(-)(−)、绝对补(∼)(\sim)(∼)和对称差(⊕)(\oplus)(⊕)等运算产生新的集合。并集A∪BA\cup BA∪BA∪B={x∣x∈A∨x∈B}A\cup B = \{x|x\in A\lor x\in B\}A∪B={x∣x∈A∨x∈B}可以把nnn个集合的并集简记为⋃...

白水baishui

5223人浏览 · 2019-05-12 19:30:10

白水baishui · 2019-05-12 19:30:10 发布

给定集合 $A$ 和 $B$ ，可以通过集合的并 $(\cup)$ 、交 $(\cap)$ 、相对补 $(-)$ 、绝对补 $(\sim)$ 和对称差 $(\oplus)$ 等运算产生新的集合。

并集 $A\cup B$
$A\cup B = \{x|x\in A\lor x\in B\}$ 可以把 $n$ 个集合的并集简记为 $\bigcup_{i=1}^{n}A_i = A_1 \cup A_2 \cup...\cup A_n$
交集 $A\cap B$
$A\cap B = \{x|x\in A \land x\in B\}$ 当两个集合的交集是空集时，称它们是不交的。
可以把 $n$ 个集合的交集简记为 $\bigcap_{i=1}^{n} A_i= A_1\cap A_2\cap...\cap A_n$
$B$ 对 $A$ 的相对补集 $A - B$
$A-A\cap B=\{x|x\in A\land x\notin B\}$
绝对补集 $\sim A$
设 $E$ 为全集， $A\subseteq E$ ，则称 $A$ 对 $E$ 的相对补集为 $A$ 的绝对补集，记做 $\sim A或\overline A$ $\sim A = E-A = \{x|x\in E\land x\notin A\}$ 或简记为 $\sim A = \{x|x\notin A\}$
$A$ 与 $B$ 的对称差 $A\oplus B$
$\begin{aligned} A\oplus B & =(A-B)\cup(B-A) \\ & = (A\cup B)-(A\cap B) \\ \end{aligned}$ 根据对称差的定义公式可得推论：
5.1. $A\oplus A = \varnothing$
5.2. $A\oplus \varnothing = A$

集合运算的主要算律

算律	公式
幂等律	$A \cup A = A$
幂等律	$A \cap A = A$
结合律	$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
结合律	$(A\cap B)\cap C = A\cap(B\cap C)$
交换律	$A\cup B = B\cup A$
交换律	$A\cap B = B\cap A$
分配律	$A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)$
分配律	$A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)$
同一律	$A\cup\varnothing = A$
同一律	$A\cap E = A$
零律	$A\cup E = E$
零律	$A\cap\varnothing = \varnothing$
排中律	$A\cup\sim A = E$
矛盾律	$A\cap\sim A = \varnothing$
吸收律	$A\cup(A\cap B)=A$
吸收律	$A\cap(A\cup B) = A$
德摩根律	$A-(B\cup C) = (A-B)\cap(A-C)$
	$A-(B\cap C)=(A-B)\cup(A-C)$
	$\sim(A\cup B)=\sim A\cap\sim B$
	$\sim(A\cap B) = \sim A\cup\sim B$
	$\sim\varnothing=E$
	$\sim E = \varnothing$
否定律	$\sim(\sim A)=A$