前言

做毕设时的一个中间定理时，刚好要对一个正态随机变量的 $\cos X$ 的均值、方差进行估计。其概率密度函数并不好求，但意外地发现 $n$ 阶矩好估计。想了下，这个问题还挺有实际价值的，特此记录一下，以便节省后人头发。

零均值正态的n阶矩

设 $X\sim \mathrm{N}\left(0,{\sigma }^2\right)$ ，令 $U=\cos X$ ， $Y=X^{2n}$ ，根据概率的换元公式：

$$f_Y\left(y\right)=f_X\left(y^{1/2n}\right)\frac{1}{n}{y}^{\frac{1}{2n}-1}=\frac{y^{\frac{1}{2n}-1}}{\sqrt{2\pi }n\sigma }\exp \left[-\frac{y^{1/n}}{2{\sigma }^2}\right]\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

为啥这里是 $\frac{1}{n}{y}^{\frac{1}{2n}-1}$ 而不是 $\frac{1}{2n}{y}^{\frac{1}{2n}-1}$ 呢？是因为偶函数要乘以2

由泰勒级数 $U=\cos X={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n{X}^{2n}}{\left(2n\right)!}$ ，所以

$$\begin{array}{rl}\mathrm{E}\left[U\right]& =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(2n\right)!}{\mu }_{Y_n}\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(2n\right)!}{\int }_0^{\infty }y{f}_{Y_n}\left(y\right)\mathrm{d}y\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(2n\right)!}{\int }_0^{\infty }\frac{y^{\frac{1}{2n}}}{\sqrt{2\pi }n\sigma }\exp \left[-\frac{y^{1/n}}{2{\sigma }^2}\right]\mathrm{d}y\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(2n\right)!}\frac{\left(2n\right)!}{\left(n!\right)2^n}{\sigma }^{2n}\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(n!\right)2^n}{\sigma }^{2n}\\ & =\exp \left(-\frac{{\sigma }^2}{2}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

$$\begin{array}{rl}\mathrm{E}\left[U^n\right]& =\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\mathrm{E}\left[\cos \left[\left(n-2k\right)x\right]\right]\\ & =\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\exp \left(-\frac{{\left(n-2k\right)}^2{\sigma }^2}{2}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

方差按照 $\mathrm{E}\left[U^2\right]-\mathrm{E}{\left[U\right]}^2$ 算就行，形式还挺妙的。

非均值正态

转化为零均值即可，若均值非 $0$ ，按照 $\cos (x+\mu )=\cos x\cos \mu -\sin x\sin \mu$ ，其中 $x$ 是零均值， $\sin x$ 期望为令，那么期望就是 $\cos \mu \cdot \exp \left(-\frac{{\sigma }^2}{2}\right)$ 。