C/C++：计算N的N次方的个位数（巧用快速幂与模运算性质）

题目描述（源自杭电OJ）：相关数学知识一：取模运算的性质a乘b的结果对p取模等于a对p取模的结果乘b对p取模的结果再整体取模于p，详见下图证明过程如下：相关数学知识二：快速幂运算以求a的b次方为例，由于要乘b次a，此时的时间复杂度为O（b）；如果要求a的的平方的b/2次，只需要乘b/2次（如果b是奇数，要再乘一个a），时间复杂度减半，以此类推，直到b=1时，此时的时间复杂度变成了log以2位到的b

LnJJF

3663人浏览 · 2021-08-03 23:35:58

LnJJF · 2021-08-03 23:35:58 发布

题目描述（源自杭电OJ）：

相关数学知识一：取模运算的性质

a乘b的结果对p取模等于a对p取模的结果乘b对p取模的结果再整体取模于p，详见下图

证明过程如下：

相关数学知识二：快速幂运算

以求a的b次方为例，由于要乘b次a，此时的时间复杂度为O（b）；如果要求a的的平方的b/2次（如果b是奇数，要再乘一个底数a），也就转化为a的4次方的b/4次，以此类推，直到b=1时，这样转化的次数为log以2为底的b的对数，转化结束。这样做，时间复杂度从O（b）变成了O（log以2为底的b的对数），运算次数实现了指数级的减小。

例如，我们计算3的10次方，最快的算法应该是，转化成9的5次方，转化成81的平方再乘9，得出最终结果。这个算法比起原始算法，如果都用for循环，就形成了循环10次和循环4次的差别，循环次数越少，时间复杂度越低，越不容易时间超限。

本题分析——“快速幂运算”与“取模运算性质” 的巧妙结合

求N的N次方的个位数，N还可以大到1,000,000,000。从数据范围来说，N的N次方这个数的最大值（1,000,000,000的1,000,000,000次方）本身来说，它完全超过了long long（24位）可以承载的最大范围，数据会溢出；从时间复杂度来说，要算N的N次方这个数的最大值，需要1,000,000,000次循环，运行时间也会超限。因此，我们从两个方面着手，解决这个问题。

第一步，解决数据溢出问题，我们利用到“取模运算的性质”，求N的N次方的个位数，其实也就是(N*N*N*...*N（共N个））%10，利用“取模运算的性质”，则可以转化为(（（（N%10）*N%10）*N%10）*N%10）*N%10......【从最内部的括号算往外算，算N次】。这样，数据范围最大也就一开始的1,000,000,000，此后的数据，都是个位数字之间的运算（原理：对10取模的一切数字只可能是个位数0~9），不可能再溢出，也就是说，我们控制住了数据范围，做到第一步。

第二步，解决时间复杂度问题，我们利用“快速幂运算”算法知识，①求N的N次幂，根据指数运算的性质，②就是求N的平方的N/2次幂，③也就是求N的4次方的N/4次幂，...，直到N的N次方的N/N次也就是1次幂，从①→②→③一直到最后，转化的步骤我们一共做了log以2为底的N次，而log以2位底的1,000,000,000次的结果大约在25左右，根据单调性，最多只用转化25次，时间复杂度大大降低，时间复杂度问题解决了。（当然要考虑N为奇数的情况，当N为奇数的时候，我们多乘一次底数N即可解决该问题，在代码中利用if语句实现）。

第三步，结合第一步与第二步，拟出基本思路，写出最终程序代码。

第一次：将求N的N次的个位数，转化为求N的平方模10的N/2次幂（如果N为奇数，先将结果多乘一个底数N）。

第二次：求N的平方模10的N/2次幂，转化为求（N的平方模10的结果）的平方模10的N/4次幂（同样，如果N为奇数，先将结果多乘一个底数N）。

以此类推............

第log以2为底的N次：求得最终的N的N次方的个位数。

代码实现（C++）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll Pow(ll a, ll b) //利用快速幂算法+取模运算性质，剧减数据范围与时间复杂度
{
int ans=1;
a%=10;
while(b)
{
if(b&1)ans=ans*a%10; //b&1用于判断b的奇偶性，相较于b%2==1，效率更高
a=a*a%10;
b>>=1; //b>>=1用于对b整除2，相较于b/=2，效率更高
}
return ans;
}
int main()
{
int t;
cin>>t;
ll n;
while(t--)
{
cin>>n;
cout<<Pow(n,n)<<endl;
}
return 0;
}