【高等数学笔记】多元函数微分学在几何上的应用、Frenet标架、空间曲线的曲率与挠率
文章目录一、空间曲线的切线与法平面二、弧长三、曲面的切平面与法线四、Frenet标架1. 法平面与切线2. 密切平面与次法线3. 从切平面与主法线五、空间曲线的曲率与挠率1. 曲率2. 挠率一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的参数方程:R→R3\mathbb R\to\mathbb R^3R→R3,r(t)=(x(t),y(t),z(t))(t∈[α,β])\bm r(t)=(x(t),y(t),
一、空间曲线的切线与法平面
空间曲线的参数方程:
R
→
R
3
\mathbb R\to\mathbb R^3
R→R3,
r
(
t
)
=
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
)
(
t
∈
[
α
,
β
]
)
\bm r(t)=(x(t),y(t),z(t))\quad(t\in[\alpha,\beta])
r(t)=(x(t),y(t),z(t))(t∈[α,β])
连续曲线:
r
(
t
)
\bm r(t)
r(t)在
[
α
,
β
]
[\alpha,\beta]
[α,β]上连续,即
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
x(t),y(t),z(t)
x(t),y(t),z(t)均在
[
α
,
β
]
[\alpha,\beta]
[α,β]上连续
简单曲线:连续且不自交,即
∀
t
1
,
t
2
∈
(
α
,
β
)
\forall t_1,t_2\in(\alpha,\beta)
∀t1,t2∈(α,β),
t
1
≠
t
2
t_1\ne t_2
t1=t2,均有
r
(
t
1
)
≠
r
(
t
2
)
\bm r(t_1)\ne\bm r(t_2)
r(t1)=r(t2)
简单闭曲线:简单曲线且
r
(
α
)
=
r
(
β
)
\bm r(\alpha)=\bm r(\beta)
r(α)=r(β)
正向:
t
t
t增大的方向(负向:
t
t
t减小的方向)
有向曲线:规定了正向的曲线
切向量:设点
P
0
=
r
(
t
0
)
P_0=\bm r(t_0)
P0=r(t0),则
r
˙
(
t
0
)
\dot\bm r(t_0)
r˙(t0)就是在点
P
0
P_0
P0的一个切向量
切线:
x
−
x
0
(
t
0
)
x
˙
(
t
0
)
=
y
−
y
0
(
t
0
)
y
˙
(
t
0
)
=
z
−
z
0
(
t
0
)
z
˙
(
t
0
)
\frac{x-x_0(t_0)}{\dot x(t_0)}=\frac{y-y_0(t_0)}{\dot y(t_0)}=\frac{z-z_0(t_0)}{\dot z(t_0)}
x˙(t0)x−x0(t0)=y˙(t0)y−y0(t0)=z˙(t0)z−z0(t0)或
ρ
=
r
(
t
0
)
+
t
r
˙
(
t
0
)
\bm\rho=\bm r(t_0)+t\dot\bm r(t_0)
ρ=r(t0)+tr˙(t0)
光滑曲线:切线方向连续变化的曲线,即
r
(
t
)
\bm r(t)
r(t)有连续导数且导数在
[
α
,
β
]
[\alpha,\beta]
[α,β]上恒不为
0
\bm 0
0
法线:过
P
0
P_0
P0且与
P
0
P_0
P0处的切线垂直的任一直线
法平面:所有法线位于法平面内,方程:
r
˙
(
t
0
)
⋅
[
ρ
−
r
(
t
0
)
]
=
0
\dot\bm r(t_0)\cdot[\bm\rho-\bm r(t_0)]=0
r˙(t0)⋅[ρ−r(t0)]=0或
x
˙
(
t
0
)
[
x
−
x
(
t
0
)
]
+
y
˙
(
t
0
)
[
y
−
y
(
t
0
)
]
+
z
˙
(
t
0
)
[
z
−
z
(
t
0
)
]
=
0
\dot x(t_0)[x-x(t_0)]+\dot y(t_0)[y-y(t_0)]+\dot z(t_0)[z-z(t_0)]=0
x˙(t0)[x−x(t0)]+y˙(t0)[y−y(t0)]+z˙(t0)[z−z(t0)]=0
一般式方程:设曲线方程为
{
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
G
(
x
,
y
,
z
)
=
0
\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}
{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0,且雅可比式
∂
(
F
,
G
)
∂
(
y
,
z
)
∣
P
0
≠
0
\left.\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\right|_{P_0}\ne0
∂(y,z)∂(F,G)∣∣∣P0=0,可以求解关于
d
x
,
d
y
,
d
z
\text{d}x,\text{d}y,\text{d}z
dx,dy,dz的方程组
{
F
x
(
P
0
)
d
x
+
F
y
(
P
0
)
d
y
+
F
z
(
P
0
)
d
z
G
x
(
P
0
)
d
x
+
G
y
(
P
0
)
d
y
+
G
z
(
P
0
)
d
z
\begin{cases}F_x(P_0)\text dx+F_y(P_0)\text dy+F_z(P_0)\text dz\\G_x(P_0)\text dx+G_y(P_0)\text dy+G_z(P_0)\text dz\end{cases}
{Fx(P0)dx+Fy(P0)dy+Fz(P0)dzGx(P0)dx+Gy(P0)dy+Gz(P0)dz其任一个非零解
(
d
x
,
d
y
,
d
z
)
(\text dx,\text dy,\text dz)
(dx,dy,dz)就是切向量。
二、弧长
弧长:
s
=
lim
d
→
0
∑
i
=
1
n
∥
P
i
−
1
P
i
→
∥
=
∫
α
β
∥
r
˙
(
t
)
∥
d
t
=
∫
α
β
[
x
˙
(
t
)
]
2
+
[
y
˙
(
t
)
]
2
+
[
z
˙
(
t
)
]
2
d
t
s=\lim\limits_{d\to0}\sum\limits_{i=1}^n\left\|\overrightarrow{P_{i-1}P_i}\right\|=\int_\alpha^\beta\|\dot\bm r(t)\|\text dt=\int_\alpha^\beta\sqrt{[\dot x(t)]^2+[\dot y(t)]^2+[\dot z(t)]^2}\text dt
s=d→0limi=1∑n∥∥∥Pi−1Pi∥∥∥=∫αβ∥r˙(t)∥dt=∫αβ[x˙(t)]2+[y˙(t)]2+[z˙(t)]2dt
可求长的曲线:上式极限存在
弧微分:
d
s
=
∥
r
˙
(
t
)
∥
d
t
=
[
x
˙
(
t
)
]
2
+
[
y
˙
(
t
)
]
2
+
[
z
˙
(
t
)
]
2
d
t
\text{d}s=\|\dot\bm r(t)\|\text dt=\sqrt{[\dot x(t)]^2+[\dot y(t)]^2+[\dot z(t)]^2}\text dt
ds=∥r˙(t)∥dt=[x˙(t)]2+[y˙(t)]2+[z˙(t)]2dt
自然参数:
r
=
r
(
t
(
s
)
)
\bm r=\bm r(t(s))
r=r(t(s)),
s
s
s为自然参数
应用:例如
d
r
d
s
\frac{\text d\bm r}{\text ds}
dsdr为单位向量,
d
x
d
s
=
cos
α
,
d
y
d
s
=
cos
β
,
d
z
d
s
=
cos
γ
\frac{\text dx}{\text ds}=\cos\alpha,\frac{\text dy}{\text ds}=\cos\beta,\frac{\text dz}{\text ds}=\cos\gamma
dsdx=cosα,dsdy=cosβ,dsdz=cosγ
三、曲面的切平面与法线
- 参数方程:
D ⊆ R 2 → R 3 D\subseteq\mathbb R^2\to\mathbb R^3 D⊆R2→R3, r = r ( u , v ) = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) \bm r=\bm r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) r=r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
u u u曲线:让 u u u变化, v v v不变: r = r ( u , v 0 ) = ( x ( u , v 0 ) , y ( u , v 0 ) , z ( u , v 0 ) ) \bm r=\bm r(u,v_0)=(x(u,v_0),y(u,v_0),z(u,v_0)) r=r(u,v0)=(x(u,v0),y(u,v0),z(u,v0))
v v v曲线:让 v v v变化, u u u不变: r = r ( u 0 , v ) = ( x ( u 0 , v ) , y ( u 0 , v ) , z ( u 0 , v ) ) \bm r=\bm r(u_0,v)=(x(u_0,v),y(u_0,v),z(u_0,v)) r=r(u0,v)=(x(u0,v),y(u0,v),z(u0,v))
参数曲线网: u u u曲线族和 v v v曲线族构成
法向量:设 r u = ( x u , y u , z u ) , r v = ( x v , y v , z v ) \bm r_u=(x_u,y_u,z_u),\bm r_v=(x_v,y_v,z_v) ru=(xu,yu,zu),rv=(xv,yv,zv),则 r u × r v = ∣ i j k x u y u z u x v y v z v ∣ \bm r_u\times\bm r_v=\begin{vmatrix}\bm i&\bm j&\bm k\\x_u&y_u&z_u\\x_v&y_v&z_v\end{vmatrix} ru×rv=∣∣∣∣∣∣ixuxvjyuyvkzuzv∣∣∣∣∣∣为法向量
正则点: r u × r v ≠ 0 \bm r_u\times\bm r_v\ne0 ru×rv=0
切平面:设法向量为 ( A , B , C ) (A,B,C) (A,B,C),则切平面方程为 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
法线: x − x 0 ( t 0 ) A = y − y 0 ( t 0 ) B = z − z 0 ( t 0 ) C \frac{x-x_0(t_0)}A=\frac{y-y_0(t_0)}B=\frac{z-z_0(t_0)}C Ax−x0(t0)=By−y0(t0)=Cz−z0(t0) - 一般式方程:
F ( x , y , z ) = 0 ⟹ F x d x + F y d y + F z d z = 0 F(x,y,z)=0\Longrightarrow F_x\text dx+F_y\text dy+F_z\text dz=0 F(x,y,z)=0⟹Fxdx+Fydy+Fzdz=0
法向量: ( F x , F y , F z ) (F_x,F_y,F_z) (Fx,Fy,Fz)
切平面: F x ( x − x 0 ) + F y ( y − y 0 ) + F z ( z − z 0 ) = 0 F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0 Fx(x−x0)+Fy(y−y0)+Fz(z−z0)=0
法线: x − x 0 ( t 0 ) F x = y − y 0 ( t 0 ) F y = z − z 0 ( t 0 ) F z \frac{x-x_0(t_0)}{F_x}=\frac{y-y_0(t_0)}{F_y}=\frac{z-z_0(t_0)}{F_z} Fxx−x0(t0)=Fyy−y0(t0)=Fzz−z0(t0) -
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)
切平面: f x ( x − x 0 ) + f y ( y − y 0 ) − ( z − z 0 ) = 0 f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)-(z-z_0)=0 fx(x−x0)+fy(y−y0)−(z−z0)=0或 z − z 0 = f x ( x − x 0 ) + f y ( y − y 0 ) z-z_0=f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0) z−z0=fx(x−x0)+fy(y−y0)
法线: x − x 0 ( t 0 ) f x = y − y 0 ( t 0 ) f y = z − z 0 ( t 0 ) − 1 \frac{x-x_0(t_0)}{f_x}=\frac{y-y_0(t_0)}{f_y}=\frac{z-z_0(t_0)}{-1} fxx−x0(t0)=fyy−y0(t0)=−1z−z0(t0)
四、Frenet标架
定义 r ′ = d r d s , r ˙ = d r d t \bm r'=\frac{\text d\bm r}{\text ds},\dot\bm r=\frac{\text d\bm r}{\text dt} r′=dsdr,r˙=dtdr
1. 法平面与切线
切向量(Tangent Vector): r ˙ ( t 0 ) = d r d s d s d t = r ′ d s d t = ∥ r ˙ ∥ r ′ \dot\bm r(t_0)=\frac{\text d\bm r}{\text ds}\frac{\text ds}{\text dt}=\bm r'\frac{\text ds}{\text dt}=\|\dot\bm r\|\bm r' r˙(t0)=dsdrdtds=r′dtds=∥r˙∥r′,故 r ′ \bm r' r′也是切向量,且是单位切向量,记作 T ( s 0 ) \bm T(s_0) T(s0) T ( s 0 ) = r ′ ( s 0 ) = r ˙ ∥ r ˙ ∥ \bm T(s_0)=\bm r'(s_0)=\frac{\dot\bm r}{\|\dot\bm r\|} T(s0)=r′(s0)=∥r˙∥r˙法平面:其法向量是切向量
2. 密切平面与次法线
密切平面:将
r
(
s
0
)
\bm r(s_0)
r(s0)处的切线与
r
(
s
0
+
Δ
s
)
\bm r(s_0+\Delta s)
r(s0+Δs)处的切线确定的平面记作
π
′
\pi'
π′,当
Δ
s
→
0
\Delta s\to0
Δs→0时
π
′
\pi'
π′趋于
π
\pi
π,则称
π
\pi
π为与曲线最贴近的平面,称作密切平面
次法向量(Binormal Vector):密切平面的法向量,记作
B
(
S
0
)
\bm B(S_0)
B(S0)
B
(
s
0
)
=
(
r
′
(
s
0
)
×
r
′
′
(
s
0
)
)
0
=
r
˙
×
r
¨
∥
r
˙
×
r
¨
∥
\bm B(s_0)=(\bm r'(s_0)\times\bm r''(s_0))^0=\frac{\dot\bm r\times\ddot\bm r}{\|\dot\bm r\times\ddot\bm r\|}
B(s0)=(r′(s0)×r′′(s0))0=∥r˙×r¨∥r˙×r¨
3. 从切平面与主法线
主法向量(Normal Vector):就是法向加速度,即速度变化的方向。
考虑物体运动的方程为
r
=
r
(
t
)
\bm r=\bm r(t)
r=r(t),速度为
v
=
r
˙
\bm v=\dot\bm r
v=r˙,加速度为
a
=
r
¨
\bm a=\ddot\bm r
a=r¨。将速度写成
v
=
∥
r
˙
∥
r
′
\bm v=\|\dot\bm r\|\bm r'
v=∥r˙∥r′,则
a
=
d
v
d
t
=
d
∥
r
˙
∥
d
t
r
′
+
∥
r
˙
∥
d
r
′
d
t
\bm a=\frac{\text d\bm v}{\text dt}=\frac{\text d\|\dot\bm r\|}{\text dt}\bm r'+\|\dot\bm r\|\frac{\text d\bm r'}{\text dt}
a=dtdv=dtd∥r˙∥r′+∥r˙∥dtdr′其中
a
n
=
∥
r
˙
∥
d
r
′
d
t
\bm a_n=\|\dot\bm r\|\frac{\text d\bm r'}{\text dt}
an=∥r˙∥dtdr′是法向加速度。而
d
r
′
d
t
=
d
r
′
d
s
d
s
d
t
=
r
′
′
∥
r
˙
∥
\frac{\text d\bm r'}{\text dt}=\frac{\text d\bm r'}{\text ds}\frac{\text ds}{\text dt}=\bm r''\|\dot\bm r\|
dtdr′=dsdr′dtds=r′′∥r˙∥故
a
n
=
r
′
′
∥
r
˙
∥
2
=
r
′
′
v
2
\bm a_n=\bm r''\|\dot\bm r\|^2=\bm r''v^2
an=r′′∥r˙∥2=r′′v2定义此方向上的单位向量为主法向量:
N
(
s
0
)
=
r
′
′
(
s
0
)
∥
r
′
′
(
s
0
)
∥
\bm N(s_0)=\frac{\bm r''(s_0)}{\|\bm r''(s_0)\|}
N(s0)=∥r′′(s0)∥r′′(s0),很难用
r
˙
\dot\bm r
r˙和
r
¨
\ddot\bm r
r¨直接计算,但我们有
N
(
s
0
)
=
B
(
s
0
)
×
T
(
s
0
)
\bm N(s_0)=\bm B(s_0)\times\bm T(s_0)
N(s0)=B(s0)×T(s0)注意不要乘反了,否则乘出来肯定是
0
\bm 0
0。
五、空间曲线的曲率与挠率
1. 曲率
曲率:
κ
=
lim
Δ
s
→
0
∣
Δ
θ
Δ
s
∣
=
∥
T
′
(
s
)
∥
=
∥
r
′
′
(
s
)
∥
=
∥
r
˙
×
r
¨
∥
∥
r
˙
∥
3
\kappa=\lim\limits_{\Delta s\to0}\left|\frac{\Delta\theta}{\Delta s}\right|=\|\bm T'(s)\|=\|\bm r''(s)\|=\frac{\|\dot\bm r\times\ddot\bm r\|}{\|\dot\bm r\|^3}
κ=Δs→0lim∣∣∣∣ΔsΔθ∣∣∣∣=∥T′(s)∥=∥r′′(s)∥=∥r˙∥3∥r˙×r¨∥反映曲线切线方向的转动快慢程度。
对于平面曲线
r
=
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
0
)
\bm r=(x(t),y(t),0)
r=(x(t),y(t),0),
κ
=
∣
x
˙
y
¨
−
y
˙
x
¨
∣
[
x
˙
2
+
y
˙
2
]
3
2
\kappa=\frac{|\dot x\ddot y-\dot y\ddot x|}{[\dot x^2+\dot y^2]^{\frac32}}
κ=[x˙2+y˙2]23∣x˙y¨−y˙x¨∣对于平面曲线
y
=
y
(
x
)
y=y(x)
y=y(x),
κ
=
∣
y
′
′
∣
[
1
+
y
′
2
]
3
2
\kappa=\frac{|y''|}{[1+y'^2]^\frac32}
κ=[1+y′2]23∣y′′∣曲率半径:
ρ
=
1
κ
\rho=\frac1\kappa
ρ=κ1
2. 挠率
挠率:
τ
(
s
)
=
−
B
′
(
s
)
⋅
N
(
s
)
=
[
r
′
(
s
)
r
′
′
(
s
)
r
′
′
′
(
s
)
]
∥
r
′
′
(
s
)
∥
2
=
[
r
˙
(
t
)
r
¨
(
t
)
d
3
r
d
t
3
]
∥
r
˙
(
t
)
×
r
¨
(
t
)
∥
2
\tau(s)=-\bm B'(s)\cdot\bm N(s)=\frac{[\bm r'(s)\quad\bm r''(s)\quad\bm r'''(s)]}{\|\bm r''(s)\|^2}=\frac{[\dot\bm r(t)\quad\ddot\bm r(t)\quad\frac{\text d^3\bm r}{\text dt^3}]}{\|\dot\bm r(t)\times\ddot\bm r(t)\|^2}
τ(s)=−B′(s)⋅N(s)=∥r′′(s)∥2[r′(s)r′′(s)r′′′(s)]=∥r˙(t)×r¨(t)∥2[r˙(t)r¨(t)dt3d3r]同时有
∣
τ
(
s
)
∣
=
∥
B
′
(
s
)
∥
|\tau(s)|=\|\bm B'(s)\|
∣τ(s)∣=∥B′(s)∥
反映曲线偏离密切平面的程度。
开放原子开发者工作坊旨在鼓励更多人参与开源活动,与志同道合的开发者们相互交流开发经验、分享开发心得、获取前沿技术趋势。工作坊有多种形式的开发者活动,如meetup、训练营等,主打技术交流,干货满满,真诚地邀请各位开发者共同参与!
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