前言

在初中和高中阶段，我们接触和使用的射影定理有以下两种形式。

射影定理1

直角三角形射影定理，又叫欧几里德(Euclid)定理，其内容：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

符号语言：如图，$Rt△ABC$中，$\angle BAC=90°$，$AD$是斜边$BC$上的高，则有射影定理如下：

$$➊A{D}^2=BD\cdot DC$$

$$➋A{B}^2=BD\cdot BC$$

$$➌A{C}^2=CD\cdot BC$$

证明：这主要是由相似三角形来推出的，

例如，证明$A{D}^2=BD\cdot DC$，

在$△BAD$与$△ACD$中，$\angle B=\angle DAC$，$\angle BDA=\angle ADC=90°$，

故$△BAD\sim △ACD$，所以 $\frac{AD}{BD}＝\frac{CD}{AD}$，

所以得到，$A{D}^2=BD\cdot DC$. 其余仿此证明；

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

比如由公式➋+➌得到，

$A{B}^2+A{C}^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=B{C}^2$，

即$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$，这就是勾股定理的结论。

射影定理2

任意三角形射影定理注释：以“$a$$＝$$b\cdot \cos C$$＋$$c\cdot \cos B$”为例，$b$、$c$在$a$上的射影分别为$b\cdot \cos C$、$c\cdot \cos B$，故名射影定理。，又称“第一余弦定理”，其内容为：三角形的任意一边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。

符号语言：设$△ABC$的三边是$a$、$b$、$c$，它们所对的角分别是$A$、$B$、$C$，则有：

$➊a＝b\cdot \cos C$$+$$c\cdot \cos B$

$➋b＝c\cdot \cos A$$+$$a\cdot \cos C$

$➌c＝a\cdot \cos B$$+$$b\cdot \cos A$

[证法1]：设点$C$在直线$AB$上的射影为点$D$，

则$AC$、$BC$在直线$AB$上的射影分别为$AD$、$BD$，

且$AD=b\cdot \cos A$，$BD=a\cdot \cos B$，

故$c=AD+BD=b\cdot \cos a+a\cdot \cos B$. 同理可证其余。

[证法2]：由正弦定理，可得：$b=\frac{a\sin B}{\sin A}$，$c=\frac{a\sin C}{\sin A}$

即$c=\frac{a\sin (A+B)}{\sin A}=\frac{a(\sin A\cos B+\cos A\sin B)}{\sin A}$

$=a\cos B+(\frac{a\sin B}{\sin A})\cos A=a\cdot \cos B+b\cdot \cos A$. 同理可证其余。

[证法3]：以向量三角形为案例，

给$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$，两边同乘以向量$\overrightarrow{CB}$，

得到$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{CB}$，

即${\overrightarrow{CB}}^2=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}$

即${\overrightarrow{CB}}^2=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot \cos <\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}>-|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot \cos <\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}>$

即${\overrightarrow{CB}}^2=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot \cos B-|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot \cos (\pi -C)$

即$a^2=c\cdot a\cdot \cos B+b\cdot a\cdot \cos C$，两边约去$a$，

得到$a=c\cdot \cos B+b\cdot \cos C$，即得到射影定理，也称第一余弦定理。

使用场景

引例，如解三角形题目中出现这样的条件： $\frac{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B-{\sin }^{2}C}{c}=\frac{\sin A\sin B}{a\cos B+b\cos A}$，

分析：则我们由射影定理2，将$a\cdot \cos B+b\cdot \cos A=c$，代入上式，

即$\frac{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B-{\sin }^{2}C}{c}=\frac{\sin A\sin B}{c}$，

则得到 $a^2+b^2-c^2=ab$ ，即已知条件等于告诉我们： $a^2+b^2-c^2=ab$ ，那么接下来的思路自然就通畅无阻了.

典例剖析

1、在 $△ABC$ 中， 内角 $A$， $B$， $C$ 的对边分别是 $a$， $b$，$c$ 若 $a\cos B-b\cos A=\frac{c}{2}$，则表达式$\frac{a\cos A+b\cos B}{a\cos B}$ 的最小值为____________.

解析: 在 $△ABC$ 中, $c=a\cos B+b\cos A$，[射影定理]

联立 $\{\begin{array}{l}c=a\cos B+b\cos A\\ a\cos B-b\cos A=\frac{c}{2}\end{array}，$ 解得$\cos A=\frac{c}{4b}$，$\cos B=\frac{3c}{4a}$，

所以 $\frac{a\cos A+b\cos B}{a\cos B}=\frac{a\cdot \frac{c}{4b}+b\cdot \frac{3c}{4a}}{a\cdot \frac{3c}{4a}}$

$=\frac{1}{3}(\frac{a}{b}+\frac{3b}{a})\ge \frac{1}{3}\times 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot \frac{3b}{a}}$

$=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

当且仅当 $\frac{a}{b}=\frac{3b}{a}$ 时，等号成立.

故$\frac{a\cos A+b\cos B}{a\cos B}$ 的最小值为$=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

2、【2022高三月考试题】两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上， 若球的体积为 $\frac{32\pi }{3}$，两个圆锥的高之比为 $1:3$，则这两个圆锥的体积之和为【 \qquad 】

【解答】解: 如图, 设球 $O$ 的半径为 $R$， 由题意， $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{32\pi }{3}$，

可得 $R=2$， 则球 $O$ 的直径为 $4$， 两个圆锥的高之比为 $1:3$， $A{O}_1=1$， $B{O}_1=3$，

由直角三角形中的射影定理可得: $r^2=1\times 3$， 即 $r=\sqrt{3}$.

所以这两个圆锥的体积之和为 $V=\frac{1}{3}\pi \times (\sqrt{3}{)}^2\times (1+3)=4\pi$， 故选: $B$.

3、【2022高三数学三轮模拟冲刺题】已知 $△ABC$ 的内角 $A$， $B$， $C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $\frac{a^2+b^2-c^2}{c}$$=$$\frac{ab}{a\cdot \cos B+b\cdot \cos A}$，则 $C$=__________.

解析：由射影定理可知， $a\cdot \cos B+b\cdot \cos A=c$，即已知条件变形为 $\frac{a^2+b^2-c^2}{c}=\frac{ab}{c}$，则 $a^2+b^2-c^2=ab$，

从而可知，$\cos C=\frac{1}{2}$，又 $c\in (0,\pi )$，故 $C=\frac{\pi }{3}$ .