作者：呵呵
链接：https://www.zhihu.com/question/20745395/answer/155838929
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
 

即期收益率的英文名称是Spot rate，到期收益率的英文名称是Yield to Maturity（简写YTM），远期收益率的英文名称是Forward rate。

在了解这个问题之前，我们先来了解一下平均收益率和零息债券的概念。

如果你是一个基金经理，管理着一支基金，规模是100万元，今年行情好，到年底的时候涨到了200万元；然而第二年行情很差，又跌回到100万元，请问这支基金在这两年内的平均收益率是多少？

收益率的计算公式：

收益率=（期末价格-期初价格）/期初价格

我们分开计算：


第一年的收益率=（200-100）/100=100%；

第一年的收益率是100%，盈利；



第二年的收益率=（100-200）/200=-50%；

第二年的收益率是-50%，亏损；



那么平均收益率该怎么算呢，一般人可能会把这两个收益率加起来除以二：

[100%+（-50%）]/2=25%；


也就是说平均收益率有25%，基友一看，那好，你基金经理把25%的收益率给我，我投了100万，你把25万给我。


你一看，期初管理了100万的基金规模，两年后还是100万的基金规模，并没有多出的25万给基友啊，那这平均收益率难道错了吗？


其实不是平均收益率错了，而是你选用计算平均收益率的方式错了。


计算平均数，有两种方式，一种是算数平均数，还有一种是几何平均数。
算数平均数就是我们上面求均值的方式，也是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，是加权计算的，每个数据之间不具有相互影响关系，是独立存在的。



比如你是手机店的销售员，星期一你卖了10部手机，星期二你卖了8部手机，星期三你卖了9部手机，星期四你买了11部手机，星期五你卖了12部手机，那么这一周你平均每天卖的手机数是：


（10+8+9+11+12）/5=10；


你平均每天卖10部手机。



那么，什么是几何平均数呢？


几何平均数是指n个观察值连续乘积的n次方根，这么说好像不太好理解，我们接着举卖手机的例子：

比如你是手机店的销售员，上个星期平均每天卖了10部手机，这个星期你的经理给你布置了新的任务指标：星期一在上个星期的基础上要增加10%的量，星期二在星期一的基础上再增加12%的量，星期三在星期二的基础上再增加8%的量，星期四在星期三的基础上再增加11%的量，星期五在星期四的基础上再增加9%的量。


那么，我们分开来计算每天要卖几台手机：


星期一：=10X（1+10%）=11；

星期二：=11X（1+12%）=12.32；

星期三：=12.32X（1+8%）=13.31；

星期四：=13.31X（1+11%）=14.77；

星期五：=14.77X（1+9%）=16.1；


或者我们可以一步计算：
星期五：=10X1.1X1.12X1.08X1.11X1.09=16.1；



星期一到星期五的增长率就是：

（16.1-10）/10=61%；


既然是求平均率，那么每个时间段的增长率都是相等的，即：

（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）=（1+61%）；

r=10%；


手机销售的日平均增长率是10%；

介绍完了算术平均数和几何平均数的概念，我们再来看这篇答案开篇的那个例子：


如果你是一个基金经理，管理着一支基金，规模是100万元，今年行情好，到年底的时候涨到了200万元；然而第二年行情很差，又跌回了100万元，请问这支基金在这两年内的平均收益率是多少？

我们还是分别算出第一年和第二年的期间收益率：


第一年的收益率=（200-100）/100=100%；

第一年的收益率是100%，盈利；



第二年的收益率=（100-200）/200=-50%；

第二年的收益率是-50%，亏损；



这里我们不能用算数平均数的方法计算，而应该用几何平均数的方法计算：

（1+r）（1+r）=(1+100%)(1-50%)；
r=0；


几何平均数算出来的平均收益率是0%，也就是这两年没涨没跌，符合实际情况，100万元的基金规模在两年后还是100万元。


有些基金公司对外宣称的平均收益率，都是算数平均收益率，这是不符合行业规范的，因为在算数平均收益率的计算下，如果第一年行情火爆，基金收益翻了好几倍，即使后面几年连续亏损，计算出来的也依然是正的收益率，按照规定，应该算几何平均收益率。


一般情况下，几何平均数的值要小于算数平均数的值，只有当期间值相等时，几何平均数才等于算数平均数。

以上文章内容搬运自我在这篇题目下写的答案：

为什么在金融领域，用几何平均来代替算术平均更为严谨？这两个平均数有什么本质上的不同吗？

以上就是算数平均数和几何平均数的介绍，下面我们再来介绍一下零息债券。

所谓零息债券，指的是以贴现方式发行，不附息票，而于到期日按时按面值一次性支付本利的债券。

那么零息利率，自然指的就是从当前时点开始至未来某一时点的利率，零息利率也称即期利率。

比如政府发行了一支债券，面值是100元，发行购买价是97.09元，期间不付息，一年期满后一次性给你付100元，那么这支债券的零息利率是多少呢？

97.09X（1+r）=100；

r=3%；

这个利率是这一年的持有期收益率，同时也是即期利率。

 

如果政府发行的是一支两年期的债券，面值是100元，发行购买价是92.46元，期间不付息，两年期满后一次性给你付100元，那么这支债券的即期利率是多少呢？

92.46X（1+r）（1+r）=100；

r=4%；

这个利率其实是个几何平均收益率，同时也是两年期的即期利率。

 

下面，我们引出远期利率的概念：

所谓远期利率，即从未来某一时点到另一时点的利率。

之前讲算数平均数和几何平均数的概念时，我们举过基金收益率的例子，第一年的收益率是100%，第二年的收益率是-50%，其实你可以这样理解：

第二年的远期收益率，是站在现在时点看，第一年末尾的下一年的收益率。

比如我现在零时点，下一年的收益率是100%，但是在下一年末尾的再下一年的收益率是-50%，这个-50%的收益率就是远期收益率，标记为:

f(1,1)

那么，站在零时点，下一年的收益率是100%，这个收益率既是一年期的即期收益率，也是站在零时点下一年的远期收益率。

那么，两年期的即期收益率怎么求呢？我们设一年期的即期收益率为r，两年期的即期收益率为R，远期利率为f(1,1)：

（1+R）(1+R)=（1+r）[1+f(1,1)]；

（1+R）(1+R)=（1+100%）（1-50%）

R=0；

我们算出，两年期的即期收益率是0，如果你提早知道这支基金是0的收益率，那你肯定不会去买，这个例子只是为了方便大家理解，而不具有实际意义，因为股票型基金的收益率是不确定的，所以才会出现今年翻倍、明年亏损一半的情况。

我们计算即期利率和远期利率，都是针对固定收益产品计算的，通常来说，指的就是债券类的产品。

我们再回到前文政府发债的那个例子：

比如政府发行了一支债券，面值是100元，发行购买价是97.09元，期间不付息，一年期满后一次性给你付100元，那么这支债券的零息率是多少呢？

97.09X（1+r）=100；
r=3%；

这个利率是这一年的持有期收益率，同时也是 即期利率。


如果政府发行的是一支两年期的债券，面值是100元，发行购买价是92.46元，期间不付息，两年期满后一次性给你100元，那么这支债券的两年期 即期利率是多少呢？

92.46X（1+r）（1+r）=100；

r=4%；

这个利率其实是个 几何平均收益率，同时也是两年期的即期利率。

现在，我们可以计算这支债券的远期利率f(1,1)：

（1+4%）（1+4%）=（1+3%）[1+f(1,1)];

f(1,1)=5.01%；

也就是说，这支债券一年期的即期利率是3%，两年期的即期利率是4%；站在现在看，一年后的下一年的利率是5.01%，也就是远期利率f(1,1)；两年期的即期利率是求出的几何平均收益率，通过一年期的即期利率和远期利率乘积后开方所得。

可以看出，如果两年期的即期利率大于一年期的即期利率，那么远期利率f(1,1)必然大于两年期的即期利率，因为两年期的即期利率是几何平均收益率，肯定会介于一年期的即期利率和远期利率f(1,1)之间。

以上就是对即期收益率和远期收益率的介绍，数学计算虽然较多，但是前后承接还是比较有条理的，如果大家看完没有理解，建议多看几遍，待完全吃透了再看下面的内容。

介绍完了即期收益率和远期收益率，我们再来看到期收益率。

前面介绍了零息债券的利率，并不是只有零息债券才能用零息利率，实际上大多数债券都是付息债券，零息利率（即期利率）只是一种表示形式，就跟一标准大气压是760mm 汞柱 一样。

我们接下来看这个例子：

政府发行了一支面值1000元，年付息5%的债券，三年到期。假设一年期的即期利率是3%，两年期的即期利率是4%，三年期的即期利率是5%，那么现在的售价应该是多少？

面值1000元的债券，年付息5%，那么每年的息票收入：

=1000X5%=50；

由于是分三年付息，所以，如果要计算今天的价格，应该把三年收到的现金加总求和。

注意：最后一年还要加上1000元面值：

把每年的现金收入折回到零时点：

第一年：=50/1.03=48.54；

第二年：=50/（1.04*1.04）=46.23；

第三年：=（50+1000）/（1.05*1.05*1.05）=907.03；

总和=48.54+46.23+907.03=1001.8；

或者我们可以一步计算：

50/1.03+50/（1.04*1.04）+（50+1000）/（1.05*1.05*1.05）=1001.8；

也就是说，这支债券现在应该卖1001.8元才合理，卖高卖低都有套利空间。

那么，如果我们现在就知道了该债券的出售价格，而不知道每年的即期利率，那我们能算出一个“标准化”的利率来代表该债券的收益率吗？

我们设这个“标准化”的利率就为“YTM”；

50/（1+YTM）+50/[（1+YTM）（1+YTM）]+（50+1000）/[（1+YTM）（1+YTM）（1+YTM）]=1001.8；

计算YTM要用财务计算器，计算得出：

YTM=4.93%；

4.93%<5%;

这个YTM就是我们所说的到期收益率，相当于投资者按照当前市场价格购买并且一直持有到期满可以获得的年平均收益率，其中隐含了每期的投资收入现金流均可以按照到期收益率进行再投资。

随着期限的增长，如果利率呈上升趋势，那么三年期的到期收益率小于三年期的即期利率，这是一个很重要的结论。

根据这个例子给出的即期利率，我们同样也可以算出远期利率：

（1+4%）（1+4%）=（1+3%）[f(1,1)]；

f(1,1)=5.01%；

一年以后再下一年的利率是5.01%；

 

（1+5%）（1+5%）（1+5%）=（1+4%）（1+4%）[f(2,1)]；

f(2,1)=7.03%；

两年以后再下一年的利率是7.03%；

同理我们也可以预测，如果给出四年期的即期利率，那么这个利率必然大于5%，那么远期利率f(3,1)也必然大于7.03%.

 

我们可以据此得出结论，随着期限的增长，如果利率呈上涨趋势，那么在同一时间点下：

远期利率>即期利率>到期收益率；

这是一个很重要的结论，我们在研究固定收益产品时，经常会用到这个结论。

 

以上就是我对即期收益率、到期收益率、远期利率的介绍，希望能为大家的理解提供一点帮助。