二阶常系数非齐次线性微分方程
$y^{{}^{\prime \prime }}+p{y}^{{}^{\prime }}+qy=P_m(x)e^{\lambda x}$
有形如
$y\ast =x^k{Q}_m(x)e^{\lambda x}$
的特解,其中$Qm(x)$是与$Pm(x)$同次的多项式, 而k按$\lambda$不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.

$$一、f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}型$$

以图中为例：对特征方程进行求解，解的$r_1=2,r_2=3$
$P_m(x)=x$是一次函数,故设特征方程中$Qm(x)=b_{0}x+b_1$
$\lambda =2$是特征方程的单根，所以$k=1$
综上可得特征方程的特解$y\ast =x^1(b_{0}x+b_1)e^{2x}$

再加一道例题帮助理解

$$二、f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\omega x+Q_n(x)sin\omega x]型$$

$$\begin{gathered} 特解可设为: \\ {y}^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)cos\omega x+R_m^{(2)}(x)sin\omega x] \end{gathered}$$

$R_m^{(1)}(x)$和$R_m^{(2)}(x)$是m次多项式, m = m a x { l , n } m=max\{l,n\} m=max{l,n}
$k$按$\lambda +\omega i(或\lambda -\omega i)$不是特征方程的根、是特征方程的单根依次取0或1.