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前言

我个人认为同余在计算机编程中有着巨大的作用，无论是在算法竞赛，科研，日常工作都起着重大的作用。本篇文章旨在帮助读者快速的理解与学习同余，语言较为通俗易懂。为了浅显易懂，本篇文章去除了冗杂的证明，但仍保留了一些重要的证明。希望读者可以理解与熟练使用同余方面知识。

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1同余初步

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1-1认识同余

我们小学学除法时就学过，被除数除以除数等于商加余数，就比如17除以5等于3余2，3是商，2是余数，我们在小学写作：$$17÷5=\mathrm{3......2}$$那么在我们把被除数，除数，余数的关系叫做取模，也就是被除数取模除数等于商，记作$$被除数mod除数=余数$$在大多数编程语言中，mod写作%，所以上面的式子可以写成$$被除数\%除数=余数$$举个例子，就比如$a÷b=c......d$，我们就写作$amodb=d$。

模的性质有很多，显而易见的有：$$1.(a+b)modm=(amodm+bmodm)modm$$$$2.(a-b)modm=(amodm-bmodm)modm$$$$1.(a\times b)modm=(amodm\times bmodm)modm$$以上式子的证明较为简单，大家可以自己尝试，这里不再过多赘述。

大家由以上公式可能会推出模的除法$(a÷b)modm=(amodm÷bmodm)modm$，但是模的除法并不是这样的，有关于除法的内容，我们将在1-5乘法逆元中继续探讨。

那么，我们在日常计算中会遇到这种情况:$23÷10=\mathrm{2......3}$,$43÷10=\mathrm{4......3}$像这种被除数不一样，除数和商一样的情况，我们叫做同余，同余的定义如下：$$若xmodz=ymodz，则称x,y模z同余，记作x\equiv y(modz)$$有的时候，我们也会把$被除数mod除数=余数$ 写作 $被除数\equiv 余数（mod除数）$

了解了同余的定义，我们来接着看同余的性质。

1-2同余的性质

同余有很多性质，这里我们来看主要的几条：
$$1.x\equiv x(modm)。$$
$$2.若x\equiv y(modm)并且y\equiv z，那么x\equiv z(modm)$$
$$3.若x\equiv y(modm),则x+z\equiv y+z(modm)$$
$$4.若x\equiv y(modm),则x\times z\equiv y\times z(modm)$$
$$5.若x\equiv y(modm),则x^z\equiv y^z(modm)$$
这里不加证明的，我们引出一个重要性质：$$6.x\equiv y(modm)的充要条件是m|(x-y)$$

1-3认识不定方程

认识不定方程之前，我们先明确一个点，数论中的方程，永远是在整数域中进行的，所以说我们这里的不定方程，也是在整数域中进行的（有的博文中将不定方程叫做丢番图方程，实际上丢番图方程的解可以不在整数域，丢番图方程也可以没有解，但不定方程至少要有2个整数解，且整数解必须在整数域中）。

不定方程，一般涉及多个未知数，解永远是在整数域中，且一般有多个解。这里给出二元不定方程的一般形式：$$ax+by=c(a,b,c为常数)$$我们学习同余，一般来说，只用考虑解二元不定方程就可以了

1-4斐蜀定理与求解不定方程

书接上回，我们如何来解不定方程呢？艾蒂安.斐蜀提出了斐蜀定理:$$对于ax+by=c，方程有解当且仅当c是gcd(a,b)的倍数，且一定有一组(x_0,y_0)，使得a{x}_0+b{y}_0=gcd(a,b)，$$

所以说我们一般会求出gcd(a,b),将d赋成gcd(a,b),然后求解$ax+by=gcd(a,b)$的解，将解乘以$\frac{d}{gcd(a,b)}$就是原方程的解。 同时，我们发现可以通过斐蜀定理来缩小c的大小以来减小问题规模，存在一定的递归性质，但是$(x,y)$与$(x_0,y_0)$之间又有什么关系呢？又该如何求出$ax+by=gcd(a,b)$的解呢？

这里提出一种算法——扩展欧几里得算法(exgcd),它就是专门用来求解不定方程的。还不会普通欧几里得算法（又叫辗转相除法）的可以看笔者的这篇博文，我们来直接看一下扩展欧几里得算法是如何实现的：

A.首先，我们来看，对于ax+by=z，当b=0时，a，b的最大公约数就是a。而这个方程的解是$x=\frac{d}{a}$,y是任意整数。

B.其次我们假设bx+(a mod b)y=d的一组解为$(x_0,y_0)$.

现在，我们就需要考虑$(x,y)$与$(x_0,y_0)$之间有什么关系了。以此来建立递归关系。如下：

1.对于$b{x}_0+(amodb)y_0=d$,将$(amodb)$可以表示为$a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b$。，则有：$$b{x}_0+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)\times y_0=d$$
2.整理，得：$$b{x}_0+a{y}_0+\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b\times y_0=d$$
3.将$b{x}_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b\times y_0$中的b提出，得$b(x_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y_0)$,则有：$$a{y}_0+b(x_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y_0)=d$$
4.与原式比较，发现上式中的$y_0$等于原式中的$x$,上式中的$(x_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y_0)$等于原式中的$y$。那么我们推出递归式为$(x,y)=(y_0,x_0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y_0)$，而递归边界就是上述的A，B两条。

那么我们就可以得出扩展欧几里得算法的代码(c++版)：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y,int &d) {
    if(!b){
        x=1;
        y=0;
        d=a;
        return ;
    }else{
        exgcd(b,a%b,y,x,d);
        y-=(a/b)*x;
    }
}

或者：

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	long long ret=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return ret;
} 

1-5乘法逆元

在正常运算中，我们有以下式子：$3\times x=1$我们可以很轻易的求出$x=\frac{1}{3}$；
我们现在给这个式子加上一个有关于模的条件:$(3\times x)modm=1$这个时候x就不止有一个解了，可以证明出x有无限个解。而上述的式子可以被我们写为同余式：$$3\times x\equiv 1(modm)$$

也就是说，在实数意义下，我们可以找到一个数x，使得$a\times x=1(a\ne 0)$,在模的意义下，我们可以找到无数个x，使得$a\times x\equiv 1(modm)$.我们则称x为a在模m意义下的乘法逆元，记作$a^{-1}(modm)$。

比如说$(3\times 7)mod10=1$即$3\times 7\equiv 1(mod10)$，我们就说7是3在模10意义下的乘法逆元。

了解了乘法逆元的定义，我们再来看一下怎么求乘法逆元。
一般来说，求乘法逆元有两种办法：

1.扩展欧几里得算法
对于$a\times x\equiv 1(modm)$,我们发现一定存在一个整数y，使得$ax+my=1$,这不就是一个不定方程的一般形式嘛，我们直接用扩展欧几里得算法求解（还不了解扩展欧几里得的可以先阅读1-4斐蜀定理与求解不定方程）。如下：

int gettheinv(int a,int m){
	int x,y;
	exgcd(a,x,m,y,1);//具体代码见1-4
	return x;
}

2.费马小定理（仅适用于m是质数的情况）
费马小定理的证明较为复杂，且要涉及欧拉函数，这里直接给出费马小定理：$$若m是一个质数，且a不是m的倍数，则a^{m-1}\equiv 1(modp)$$那么对于m是质数的情况，就有$$a\times a^{m-2}\equiv 1(modm)$$显而易见的,$a^{m-2}$就是a在模m意义下的乘法逆元，则有代码如下：

int gettheinv(int a,int m){
	return qpow(a,m-2,m);//使用了快速幂
}

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2同余方程与中国剩余定理CRT

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2-1认识同余方程

我们接触过形形色色的方程，同余方程，其实就是将几个含有同一未知数的同余式联合起来，模数两两不同，例如：有x个人入住宾馆，每3个人一间房，则会多出2个人，每4个人一间房，则会多出3个人，每5个人一间房，则会多出1个人，求这些人可能的人数中最小的人数为多少？

为什么要说“可能的人数中最小的人数”呢？因为同余方程在有解的前提下一定有无数个解，我们可以证明出对于同余方程一个解$x$,一定存在两个整数$a,b$，使得x=a+b且$a+k\times b（k为常数）$也一定为同余方程的一个解。在这里读者可能还不好理解，我们接着往下看。

对于以上问题，我们可以列方程为：$$\{\begin{array}{l}x\equiv 2(mod3)\\ x\equiv 3(mod4)\\ x\equiv 1(mod5)\end{array}$$
我们回顾一下1-2同余的性质中所讲的第3，4，5条性质，发现同余式具有同加性，同乘性，同幂性。那么对于上述同余方程中的三个同余式，每一个同余式都有一个包含无限个数的解集，而同余方程的解，也就是这三个解集中的交集。所以说对于有解的同余方程，他的解有无数个。

2-2中国剩余定理

然后我们就可以考虑怎么去解这个方程，我们自然而然就可以想到暴力枚举每一种可能，这个时候我们就要提出一个新的定理了——中国剩余定理（又称孙子定理），他就是专门来求解同余方程的，我们先假设有一组同余方程如下：$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ x\equiv a_3(mod{m}_3)\end{array} \\ (现实中可能不仅有三组，还有更多) \end{gathered}$$

不过，中国剩余定理是有局限性的，它只能处理模数(即$m_1,m_2,m_3...m_n$)两两互质的情况，对于模数两两不互质的情况，可以用扩展中国剩余定理来解，有兴趣的读者可以学习完本博客后上网自行查阅，接下来，我们来看一下中国剩余定理是如何来解同余方程的：
1.求出$m_1,m_2,m_3...m_n的积（也就是最小公倍数）为M，即$$M={\prod }_{i=1}^n{m}_i$
$$M=3\times 4\times 5=60$$
2，设$v_i(i\in [1,n])=\frac{M}{m_i}$
$$\{\begin{array}{l}{v}_1=\frac{60}{3}=20\\ v_2=\frac{60}{4}=15\\ v_3=\frac{60}{5}=12\end{array}$$

仔细观察上述式子，我们发现，因为M是所有$m_i$的最小公倍数且$m_i$互质，那么我们用M除以每一个$m_i$求得的$v_i$，由整数唯一分解定理得$v_i$不能被$m_i$整除，却可以被其他任意一个$m$整除，例如20不能被3整除，却可以被4，5整除，15不能被4整除，却可以被3，5整除。请读者记住这一步的目的
3.设$v_i$模$m_i$的乘法逆元为$t_i$.
$$\{\begin{array}{l}{t}_i=2,20\times 1\equiv 1(mod3)\\ t_i=3,15\times 1\equiv 1(mod4)\\ t_i=3,12\times 3\equiv 1(mod5)\end{array}$$
则有$$x=(a_1\times v_1\times t_1+a_2\times v_2\times t_2+a_3\times v_3\times t_3+...+a_n\times v_n\times t_n)-M\times k(k\in N+)$$

这一步的原理是：
已知$v_i\times t_i\equiv i(mod{m}_i)$
给上述同余式两边同时乘以$a_i$，得：$$a_i\times v_i\times t_i\equiv a_i(mod{m}_i)$$

所以说$a_i\times v_i\times t_i$就是满足同余方程中第$i$个同余式的一个解，而为什么把它们（分别满足各个同余式的解）加起来就一定是满足所有同余式的解呢？

这里不加证明的，给出一个定理：

几个数相加，如果只存在一个加数不能被数a整除，那么它们的和就不能被整数a整除，且和与加数模a同余

这个定理的证明可以通过数学归纳法和欧几里得算法得出。

那么对于每一组$a_i\times v_i\times t_i$他都不能被$m_i$整除，但却可以被其他的$m$整除（因为$v_i$可以被其他的$m$整除），所以说每一组$a_i\times v_i\times t_i$相加就满足上述定理，所以说相加起来的和就满足所有的同余式，它的和就是一组答案。

对于以上例子则有:
$$x=(2\times 20\times 2+3\times 15\times 3+1\times 12\times 3)-60\times k$$
例题：
洛谷P1495 【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪（仅作引用，侵权立删）

//CRT
/*
ans=_b_1(mod a_1)
ans=_b_2(mod a_2)
......
ans=_b_n(mod a_n)
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long mo[15],b[15];
long long mm=1,M,m[15],t[15];
long long ans;
long long y;
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){//扩展欧几里得算法求乘法逆元
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	long long d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
} 
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>mo[i]>>b[i];
		mm*=mo[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		m[i]=mm/mo[i];
		exgcd(m[i],mo[i],t[i],y);
		t[i]=(mo[i]+t[i]%mo[i])%mo[i];
		for(int j=1;j<=b[i];j++){
			ans=(ans+m[i]*t[i])%mm;
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

练习：洛谷P3868，洛谷P1516

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