1. 速度梯度、变形率张量与物质旋律张量

对于速度场 $\vec{v}=\vec{v}(\vec{x},t)=v^i{\vec{g}}_i$，其右梯度 (称作速度梯度) 可写作
$$\begin{array}{rl}& \vec{v}▽=\frac{\partial \vec{v}}{\partial x^j}\otimes \vec{g}{}^j=v^i{|}_j{\vec{g}}_i\otimes {\vec{g}}^j\triangleq \mathbf{L}\\ & \\ & =\frac{\partial \vec{v}}{\partial X^A}\frac{\partial X^A}{\partial x^j}\otimes \vec{g}{}^j=\frac{\partial \vec{v}}{\partial X^A}\otimes {\vec{C}}^A=v^B|{|}_A{\vec{C}}_B\otimes {\vec{C}}^A={\stackrel{\bullet }{\vec{C}}}_A\otimes {\vec{C}}^A\\ & \\ & =({\stackrel{\bullet }{\vec{C}}}_B\otimes {\vec{G}}^B)\cdot ({\vec{G}}_A\otimes {\vec{C}}^A)=\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}\cdot \stackrel{-1}{\mathbf{F}}\end{array}$$
将速度梯度的对称部分称作变形率张量：
$$\mathbf{D}=\frac{1}{2}(\mathbf{L}+{\mathbf{L}}^T)=\frac{1}{2}(\vec{v}▽+▽\vec{v})$$
将速度梯度的反对称部分称作物质旋率张量：
$$\mathbf{W}=\frac{1}{2}(\mathbf{L}-{\mathbf{L}}^T)=\frac{1}{2}(\vec{v}▽-▽\vec{v})$$
其轴向量为：
$$\vec{\omega }=\frac{1}{2}(▽\times \vec{v})$$
此外还可以表示为：
$$\vec{\omega }=-\frac{1}{4}ϵ:({\stackrel{\bullet }{\vec{C}}}_A\otimes {\vec{C}}^A-{\vec{C}}^A\otimes {\stackrel{\bullet }{\vec{C}}}_A)=\frac{1}{2}{\vec{C}}^A\times {\stackrel{\bullet }{\vec{C}}}_A$$
定义 处处满足 $\vec{w}=0$ 或 $\mathbf{W}=0$ 的运动称为无旋运动。

2. 加速度梯度

加速度为：
$$\begin{array}{rl}& \vec{a}=\stackrel{\bullet }{\vec{v}}={\vec{v}}^{\prime }+(\vec{v}▽)\cdot \vec{v}\\ & \\ & ={\vec{v}}^{\prime }+\mathbf{L}\cdot \vec{v}={\vec{v}}^{\prime }+(\mathbf{D}+\mathbf{W})\cdot \vec{v}\\ & \\ & ={\vec{v}}^{\prime }+\mathbf{D}\cdot \vec{v}+\vec{\omega }\times \vec{v}\\ & \\ & ={\vec{v}}^{\prime }+\frac{1}{2}▽(\vec{v}\cdot \vec{v})+2\mathbf{W}\cdot \vec{v}\end{array}$$
其中，最后一式是由于
$$\mathbf{W}\cdot \vec{v}=\vec{w}\times \vec{v}=\frac{1}{2}(▽\times \vec{v})\times \vec{v}=\frac{1}{2}(\vec{v}▽-▽\vec{v})\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(\mathbf{L}\cdot \vec{v}-▽\vec{v}\cdot \vec{v})=\frac{1}{2}[\mathbf{L}\cdot \vec{v}-\frac{1}{2}▽(\vec{v}\cdot \vec{v})]$$

加速度的 (右) 梯度 定义为：
$$\begin{array}{rl}& \vec{a}▽=\frac{\partial \vec{a}}{\partial x^i}\otimes {\vec{g}}^i=\frac{\partial \vec{a}}{\partial X^A}\otimes {\vec{C}}^A=a^B|{|}_A{\vec{C}}_B\otimes {\vec{C}}^A\\ & \\ & ={\stackrel{\bullet \bullet }{\vec{C}}}_A\otimes {\vec{C}}^A=({\stackrel{\bullet \bullet }{\vec{C}}}_A\otimes {\vec{G}}^A)\cdot ({\vec{G}}_B\otimes {\vec{C}}^B)=\stackrel{\bullet \bullet }{\mathbf{F}}\cdot \stackrel{-1}{\mathbf{F}}\end{array}$$

继续讨论前，给出如下命题：

对于任意仿射量 $\Psi$，有：
$${\left(\stackrel{\bullet }{\Psi }\right)}^T=\stackrel{\bullet }{\left({\Psi }^T\right)}$$
证明：对任意向量 $\vec{a}，\vec{b}$ 满足：
$$\vec{a}\cdot \mathbf{\Psi }\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot {\mathbf{\Psi }}^T\cdot \vec{a}$$
那么，
$$\stackrel{\bullet }{\vec{a}}\cdot \mathbf{\Psi }\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \stackrel{\bullet }{\mathbf{\Psi }}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \mathbf{\Psi }\cdot \stackrel{\bullet }{\vec{b}}=\stackrel{\bullet }{\vec{b}}\cdot ({\mathbf{\Psi }}^T)\cdot \vec{a}+\vec{b}\cdot \stackrel{\bullet }{({\mathbf{\Psi }}^T)}\cdot \vec{a}+\vec{b}\cdot ({\mathbf{\Psi }}^T)\cdot \stackrel{\bullet }{\vec{a}}$$
则
$$\vec{a}\cdot \stackrel{\bullet }{\mathbf{\Psi }}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \stackrel{\bullet }{({\mathbf{\Psi }}^T)}\cdot \vec{a}⟹\vec{b}\cdot \left[{\left(\stackrel{\bullet }{\Psi }\right)}^T-\stackrel{\bullet }{({\mathbf{\Psi }}^T)}\right]\cdot \vec{a}=0$$
由 $\vec{a}，\vec{b}$ 的任意性可知命题成立。故此二者可以不加区分运算的先后次序。另外还表明：对称仿射量的物质导数是对称仿射量，反对称仿射量的物质导数为反对称仿射量。

加速度梯度的反对称部分记为：
$$\mathbf{J}=\frac{1}{2}(\vec{a}▽-▽\vec{a})$$

由于恒等式：
$$2{\mathbf{F}}^T\cdot \mathbf{W}\cdot \mathbf{F}={\mathbf{F}}^T\cdot (\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}\cdot {\mathbf{F}}^{-1}-{\mathbf{F}}^{-T}\cdot \stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}{}^T)\cdot \mathbf{F}={\mathbf{F}}^T\cdot \stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}-\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}{}^T\cdot \mathbf{F}$$
对左侧求物质导数有：
$$\begin{array}{rl}& 2[\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}{}^T\cdot \mathbf{W}\cdot \mathbf{F}+{\mathbf{F}}^T\cdot \stackrel{\bullet }{\mathbf{W}}\cdot \mathbf{F}+{\mathbf{F}}^T\cdot \mathbf{W}\cdot \stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}]\\ & \\ & =2{\mathbf{F}}^T\cdot ({\mathbf{L}}^T\cdot \mathbf{W}+\stackrel{\bullet }{\mathbf{W}}+\mathbf{W}\cdot \mathbf{L})\cdot \mathbf{F}\\ & \\ & =2{\mathbf{F}}^T\cdot (\mathbf{D}\cdot \mathbf{W}+\stackrel{\bullet }{\mathbf{W}}+\mathbf{W}\cdot \mathbf{D})\cdot \mathbf{F}+2{\mathbf{F}}^T\cdot (\frac{{\mathbf{L}}^T-\mathbf{L}}{2}\cdot \mathbf{W}+\mathbf{W}\cdot \frac{\mathbf{L}-{\mathbf{L}}^T}{2})\cdot \mathbf{F}\\ & \\ & =2{\mathbf{F}}^T\cdot (\mathbf{D}\cdot \mathbf{W}+\stackrel{\bullet }{\mathbf{W}}+\mathbf{W}\cdot \mathbf{D})\cdot \mathbf{F}+2{\mathbf{F}}^T\cdot (-{\mathbf{W}}^2+{\mathbf{W}}^2)\cdot \mathbf{F}\\ & \\ & =2{\mathbf{F}}^T\cdot (\mathbf{D}\cdot \mathbf{W}+\stackrel{\bullet }{\mathbf{W}}+\mathbf{W}\cdot \mathbf{D})\cdot \mathbf{F}\end{array}$$
对右侧求物质导数：
$$\begin{array}{rl}& \stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}{}^T\cdot \stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}+{\mathbf{F}}^T\cdot \stackrel{\bullet \bullet }{\mathbf{F}}-\stackrel{\bullet \bullet }{\mathbf{F}}{}^T\cdot \mathbf{F}-\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}{}^T\cdot \stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}\\ & \\ & ={\mathbf{F}}^T\cdot \stackrel{\bullet \bullet }{\mathbf{F}}-\stackrel{\bullet \bullet }{\mathbf{F}}{}^T\cdot \mathbf{F}\\ & \\ & ={\mathbf{F}}^T\cdot (\stackrel{\bullet \bullet }{\mathbf{F}}\cdot {\mathbf{F}}^{-1}-{\mathbf{F}}^{-T}\cdot \stackrel{\bullet \bullet }{\mathbf{F}}{}^T)\cdot \mathbf{F}\\ & \\ & ={\mathbf{F}}^T\cdot (\vec{a}▽-▽\vec{a})\cdot \mathbf{F}\\ & \\ & =2{\mathbf{F}}^T\cdot \mathbf{J}\cdot \mathbf{F}\end{array}$$
比较两式得：
$$\mathbf{J}=\stackrel{\bullet }{\mathbf{W}}+\mathbf{D}\cdot \mathbf{W}+\mathbf{W}\cdot \mathbf{D}$$

3. Lagrange-Cauchy 定理

[Lagrange-Cauchy 定理] \quad 对于加速度为势的梯度的运动，若某一时刻运动是无旋的，则运动始终是无旋的。

证明：由于加速度为势的梯度，则
$$\vec{a}=▽\alpha (\vec{x},t)$$
那么
$$\begin{array}{rl}& (▽\alpha )▽=\frac{\partial }{\partial x^j}\left(\frac{\partial \alpha }{\partial x^i}\right){\vec{g}}^i\otimes {\vec{g}}^j\\ & \\ & ▽(▽\alpha )=\frac{\partial }{\partial x^j}\left(\frac{\partial \alpha }{\partial x^i}\right){\vec{g}}^j\otimes {\vec{g}}^i=\frac{\partial }{\partial x^i}\left(\frac{\partial \alpha }{\partial x^j}\right){\vec{g}}^i\otimes {\vec{g}}^j\\ & \\ & (▽\alpha )▽=▽(▽\alpha )\end{array}$$
则，加速度梯度的反对称部分为
$$\mathbf{J}=\frac{(▽\alpha )▽-▽(▽\alpha )}{2}=0$$
那么
$$\frac{D}{Dt}({\mathbf{F}}^T\cdot \mathbf{W}\cdot \mathbf{F})={\mathbf{F}}^T\cdot (\mathbf{D}\cdot \mathbf{W}+\stackrel{\bullet }{\mathbf{W}}+\mathbf{W}\cdot \mathbf{D})\cdot \mathbf{F}={\mathbf{F}}^T\cdot \mathbf{J}\cdot \mathbf{F}=0$$
若运动某一时刻无旋，即某一时刻 $\mathbf{W}=0$，则运动过程中始终有：
$${\mathbf{F}}^T\cdot \mathbf{W}\cdot \mathbf{F}=0$$
由于 $\mathbf{F}$ 正则，故在运动过程中始终有：
$$\mathbf{W}=0$$
即，运动始终无旋。

命题 \quad 若速度场为势的梯度，则加速度场也为势的梯度。

证明：由于速度有势，则
$$\vec{v}=▽\phi (\vec{x},t)$$
那么
$$\vec{a}=\stackrel{\bullet }{\vec{v}}=\stackrel{\bullet }{▽\phi }=(▽\phi {)}^{\prime }+(\vec{v}▽)\cdot \vec{v}$$
由于
$$\begin{gathered} (▽\times \vec{v})\times \vec{v}=(\vec{v}▽-▽\vec{v})\cdot \vec{v}=\vec{v}▽\cdot \vec{v}-▽\vec{v}\cdot \vec{v} \\ ▽\vec{v}\cdot \vec{v}=▽\left(\frac{\vec{v}\cdot \vec{v}}{2}\right) \\ ▽\times \vec{v}=▽\times (▽\phi )=\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^i\partial x^j}{ϵ}^{ijk}{\vec{g}}_k=0 \end{gathered}$$
故
$$\vec{a}=▽\left({\phi }^{\prime }+\frac{\vec{v}\cdot \vec{v}}{2}\right)$$
证毕。

4. 涡旋传输定理

5. 变形率 $\mathbf{D}$ 与物质旋率 $\mathbf{W}$ 的几何意义

5.1. 线元的物质导数与相关的相对变化率

由于任意线元 $d\vec{x}$ 的物质导数为：
$$\frac{D}{Dt}(d\vec{x})=\frac{D}{Dt}(\mathbf{F}\cdot d\vec{X})=\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}\cdot \vec{X}=(\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}\cdot {\mathbf{F}}^{-1})\cdot (\mathbf{F}\cdot d\vec{X})=\mathbf{L}\cdot d\vec{x}$$

5.1.1. 线元长度的相对变化率

任意线元 $d\vec{x}$ 长度 $|d\vec{x}|$ 的物质导数为：
$$\begin{array}{rl}& \frac{D}{Dt}(|d\vec{x}|)=\frac{D}{Dt}\sqrt{d\vec{x}\cdot d\vec{x}}=\frac{1}{2|d\vec{x}|}\left[\frac{D}{Dt}(d\vec{x})\cdot d\vec{x}+d\vec{x}\cdot \frac{D}{Dt}(d\vec{x})\right]\\ & \\ & =\frac{1}{|d\vec{x}|}\left(d\vec{x}\cdot \frac{{\mathbf{L}}^T+\mathbf{L}}{2}\cdot d\vec{x}\right)=\frac{1}{|d\vec{x}|}\left(d\vec{x}\cdot \mathbf{D}\cdot d\vec{x}\right)=\vec{l}\cdot (\mathbf{D}\cdot d\vec{x})\end{array}$$
可理解为 $\mathbf{D}\cdot d\vec{x}$ 在 $\vec{l}$ 上的投影。故沿单位切向量 $\vec{l}$ 的线元 $d\vec{x}$ 的长度的相对变化率 $d_l$ 为：
$$d_{\vec{l}}\triangleq \frac{\stackrel{\bullet }{|d\vec{x}|}}{|d\vec{x}|}=\frac{d\vec{x}}{|d\vec{x}|}\cdot \mathbf{D}\cdot \frac{d\vec{x}}{|d\vec{x}|}=\vec{l}\cdot \mathbf{D}\cdot \vec{l}$$

进一步讨论，在当前时刻什么方向上使得线元的长度相对变化率最大？即求解
$$\{\begin{array}{l}\underset{\vec{l}}{\max }(\vec{l}\cdot \mathbf{D}\cdot \vec{l})\\ \\ |\vec{l}|=1\end{array}$$
采用 Lagrange 乘子法进行求解，使得问题化为如下无约束极值问题的必要条件：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial l^k}[l^i{l}^j{D}_{ij}-\eta (l^i{l}^j{g}_{ij}-1)]=0\\ \\ l^i{l}_i-1=0\end{array}$$
即
$$\{\begin{array}{l}(D_{ik}-\eta g_{ik})l^i=0\\ \\ l^i{l}^j{g}_{ij}-1=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}(D_{\bullet k}^i-\eta {\delta }_{\bullet k}^i)l_i=0\\ \\ l^i{l}^j{g}_{ij}-1=0\end{array}$$
其求解等价于求解 $\mathbf{D}$ 的特征值与单位特征向量问题：
$$(\mathbf{D}-\eta \mathbf{I})\vec{l}=0$$
由于 $\mathbf{D}$ 是对称张量，故存在三个实特征值 $d_{\alpha }(\alpha =1,2,3)$ 并总可以找到两两垂直的单位特征方向 ${\vec{v}}_{\alpha }(\alpha =1,2,3)$。且
$$d_{{\vec{v}}_{\alpha }}={\vec{v}}_{\alpha }\cdot (\mathbf{D}\cdot {\vec{v}}_{\alpha })={\vec{v}}_{\alpha }\cdot (d_{\alpha }{\vec{v}}_{\alpha })=d_{\alpha }(\alpha =1,2,3)$$

上述讨论实际上说明：在各时刻，线元长度的相对变化率取极值（驻值）的方向为伸长率张量的主方向，长度相对变化率的大小为伸长率张量的对应的驻值。

5.1.2. 线元方向的变化率 (与 W 相关)

考虑线元 $d\vec{x}$ 单位切向量 $\vec{l}$ 的物质导数：
$$\begin{array}{rl}& \frac{D\vec{l}}{Dt}=\frac{D}{Dt}\left(\frac{d\vec{x}}{|d\vec{x}|}\right)=\frac{1}{|d\vec{x}|}\frac{D}{Dt}(d\vec{x})-\frac{d\vec{x}}{|d\vec{x}{|}^2}\frac{D}{Dt}(|d\vec{x}|)\\ & \\ & =\mathbf{L}\cdot \frac{d\vec{x}}{|d\vec{x}|}-\frac{d\vec{x}}{|d\vec{x}|}(\vec{l}\cdot \mathbf{D}\cdot \vec{l})\\ & \\ & =(\mathbf{L}-d_{\vec{l}}\mathbf{I})\cdot \vec{l}\end{array}$$
其中，$d_{\vec{l}}$ 为 $\vec{l}$ 方向线元长度的相对变化率。又
$$\frac{D\vec{l}}{Dt}\cdot \vec{l}=\vec{l}\cdot (\mathbf{L}-d_{\vec{l}}\mathbf{I})\cdot \vec{l}=\vec{l}\cdot (\mathbf{L}-\mathbf{D})\cdot \vec{l}=\vec{l}\cdot \mathbf{W}\cdot \vec{l}=0$$
由于物质旋率张量是反对称张量。这也说明了单位切向量的物质导数与自身垂直的几何含义。

5.1.3. 线元夹角余弦的变化率

在当前时刻，存在两线元 $d{\vec{x}}_{(1)}$ 与 $d{\vec{x}}_{(2)}$，其单位切向量分别为：${\vec{l}}_{(1)}、{\vec{l}}_{(2)}$，夹角为：$\theta$。那么
$$\begin{array}{rl}& \frac{D}{Dt}(cos\theta )=\frac{D}{Dt}({\vec{l}}_{(1)}\cdot {\vec{l}}_{(2)})\\ & \\ & ={\vec{l}}_{(1)}\cdot \frac{D{\vec{l}}_{(2)}}{Dt}+\frac{D{\vec{l}}_{(1)}}{Dt}\cdot {\vec{l}}_{(2)}\\ & \\ & ={\vec{l}}_{(1)}\cdot \left(\mathbf{L}-d_{{\vec{l}}_{(2)}}\mathbf{I}\right)\cdot {\vec{l}}_{(2)}+\left(\mathbf{L}-d_{{\vec{l}}_{(1)}}\mathbf{I}\right)\cdot {\vec{l}}_{(1)}\cdot {\vec{l}}_{(2)}\\ & \\ & ={\vec{l}}_{(1)}\cdot \left(\mathbf{L}-d_{{\vec{l}}_{(2)}}\mathbf{I}\right)\cdot {\vec{l}}_{(2)}+{\vec{l}}_{(1)}\cdot \left({\mathbf{L}}^T-d_{{\vec{l}}_{(1)}}\mathbf{I}\right)\cdot {\vec{l}}_{(2)}\\ & \\ & =2{\vec{l}}_{(1)}\cdot \mathbf{D}\cdot {\vec{l}}_{(2)}-\left(d_{{\vec{l}}_{(1)}}+d_{{\vec{l}}_{(1)}}\right){\vec{l}}_{(1)}\cdot {\vec{l}}_{(2)}\end{array}$$
特别地，若考虑 $\theta =90°$，则
$${\frac{D}{Dt}(cos\theta )|}_{\theta =90°}=-{\frac{D\theta }{Dt}|}_{\theta =90°}=2{\vec{l}}_{(1)}\cdot \mathbf{D}\cdot {\vec{l}}_{(2)}$$

5.2. 体元的物质导数与与其相对变化率

5.2.1. 体元的物质导数与与其相对变化率

由于
$$\frac{D}{Dt}(dv)=\frac{D}{Dt}(\mathcal{J}d{v}_0)=\stackrel{\bullet }{\mathcal{J}}d{v}_0=▽\cdot \vec{v}\mathcal{J}d{v}_0=▽\cdot \vec{v}dv$$
又
$$▽\cdot \vec{v}=v^i{|}_i=tr(\vec{v}\otimes ▽)=tr(\mathbf{L})=tr(\mathbf{D})$$
故任意体元 $dv$ 的物质导数为：
$$\frac{D}{Dt}(dv)=tr(\mathbf{D})dv$$
则体元的相对变化率为：
$$\frac{\stackrel{\bullet }{\mathrm{dv}}}{dv}=tr(\mathbf{D})$$

5.2.2 体元物质导数的另一种表达

对任意仿射量 $\mathbf{F}、\mathbf{B}$ 与 实数 $\delta$, 记
$$\hat{\mathbf{F}}=\mathbf{F}+\delta \mathbf{B}$$
则
$$\hat{\mathcal{J}}\triangleq det(\hat{\mathbf{F}})=det(\mathbf{F}+\delta \mathbf{B})=det(\mathbf{F})det(\mathbf{I}+\delta \mathbf{B}{\mathbf{F}}^{-1})$$
进一步有：
$${\frac{D\hat{\mathcal{J}}}{D\delta }|}_{\delta =0}=det(\mathbf{F})tr(\mathbf{B}{\mathbf{F}}^{-1})$$
上式运用了特征多项式展开的相关性质。得到上述结论后，令上式中 $\mathbf{F}$ 代表变形梯度，且
$$\delta =t，\mathbf{B}=\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}$$
则有：
$${\frac{Ddet(\mathbf{F}+t\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}})}{Dt}|}_{t=0}=\mathcal{J}tr\mathbf{L}=\mathcal{J}tr\mathbf{D}$$
则
$$\left[{\frac{Ddet(\mathbf{F}+t\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}})}{Dt}|}_{t=0}\right]d{v}_0=tr(\mathbf{D})dv=\stackrel{\bullet }{\mathrm{dv}}$$

5.3. 有向面元的物质导数与其面积的相对变化率

由于
$$\begin{array}{rl}& \frac{D}{Dt}(\vec{N}dS)=\frac{D}{Dt}(\mathcal{J}{\mathbf{F}}^{-T}\cdot {}_0\vec{N}d{S}_0)=\frac{D}{Dt}(\mathcal{J}{\mathbf{F}}^{-T})\cdot {}_0\vec{N}d{S}_0\\ & \\ & =[tr(\mathbf{D})(\mathcal{J}{\mathbf{F}}^{-T})+\mathcal{J}(\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}{}^{-1}{)}^T)]\cdot {}_0\vec{N}d{S}_0\end{array}$$
又
$$\begin{gathered} \frac{D}{Dt}(\mathbf{F}\cdot {\mathbf{F}}^{-1})=\stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}\cdot {\mathbf{F}}^{-1}+\mathbf{F}\cdot \stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}{}^{-1}=0 \\ \stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}{}^{-1}=-{\mathbf{F}}^{-1}\cdot \stackrel{\bullet }{\mathbf{F}}\cdot {\mathbf{F}}^{-1}=-{\mathbf{F}}^{-1}\cdot \mathbf{L} \end{gathered}$$
则任意有向线元的物质导数为：
$$\frac{D}{Dt}(\vec{N}dS)=[tr(\mathbf{D})(\mathcal{J}{\mathbf{F}}^{-T})-{\mathbf{L}}^T\cdot (\mathcal{J}{\mathbf{F}}^{-T})]\cdot {}_0\vec{N}d{S}_0=[tr(\mathbf{D})\mathbf{I}-{\mathbf{L}}^T]\cdot \vec{N}dS$$
进一步，微元面积的物质导数为：
$$\begin{array}{rl}& \frac{DdS}{Dt}=\frac{D}{Dt}\sqrt{\vec{N}dS\cdot \vec{N}dS}\\ & \\ & =\frac{1}{2dS}\left\{[tr(\mathbf{D})\mathbf{I}-{\mathbf{L}}^T]\cdot \vec{N}dS\cdot \vec{N}dS+\vec{N}dS\cdot [tr(\mathbf{D})\mathbf{I}-{\mathbf{L}}^T]\cdot \vec{N}dS\right\}\\ & \\ & =\frac{1}{2dS}\left\{\vec{N}dS\cdot [tr(\mathbf{D})\mathbf{I}-\mathbf{L}]\cdot \vec{N}dS+\vec{N}dS\cdot [tr(\mathbf{D})\mathbf{I}-{\mathbf{L}}^T]\cdot \vec{N}dS\right\}\\ & \\ & =\frac{1}{dS}\left[tr(\mathbf{D})(dS{)}^2-\vec{N}dS\cdot \frac{\mathbf{L}+{\mathbf{L}}^T}{2}\cdot \vec{N}dS\right]\\ & \\ & =dS\left[tr(\mathbf{D})-\vec{N}\cdot \mathbf{D}\cdot \vec{N}\right]\end{array}$$
那么，任意有向面元 $\vec{N}dS$ 面积的相对变化率为：
$$\frac{\stackrel{\bullet }{\mathrm{dS}}}{dS}=tr(\mathbf{D})-\vec{N}\cdot \mathbf{D}\cdot \vec{N}=tr(\mathbf{D})-d_{\vec{N}}$$

5.4. 物质旋率张量 W 的几何意义

当前时刻，伸长率张量 $\mathbf{D}$ 的单位特征向量为： ${\vec{v}}_{\alpha }(\alpha =1,2,3)$ ，对应的特征值分别为：$d_{\alpha }(\alpha =1,2,3)$，考虑沿当前 ${\vec{v}}_{\alpha }$ 方向的线元的方向变化率：
$$\stackrel{\bullet }{\vec{l}}({\vec{v}}_{\alpha })=\stackrel{\bullet }{\vec{l}}{|}_{\vec{l}={\vec{v}}_{\alpha }}$$
需要注意的是：
$$\stackrel{\bullet }{\vec{l}}({\vec{v}}_{\alpha })\ne \stackrel{\bullet }{{\vec{v}}_{\alpha }}$$
因为对线元的单位方向的物质导数表示研究的始终是同一线元，但前一时刻与下一时刻伸长率张量的特征向量可能与不同线元相重合。
$$\stackrel{\bullet }{\vec{l}}({\vec{v}}_{\alpha })=(\mathbf{L}-d_{\alpha }\mathbf{I})\cdot {\vec{v}}_{\alpha }=(\mathbf{L}-\mathbf{D})\cdot {\vec{v}}_{\alpha }=\mathbf{W}\cdot {\vec{v}}_{\alpha }=\vec{\omega }\times {\vec{v}}_{\alpha }$$
这表明：物质旋率张量是当前时刻与伸长率张量特征方向相重合的物质线元的转动速率张量。另外
$$\frac{D}{Dt}(d\vec{x})=\mathbf{L}\cdot d\vec{x}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial x^i}d{x}^i=d\vec{v}=\mathbf{D}\cdot d\vec{x}+\mathbf{W}\cdot d\vec{x}$$