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1 引言

问题：已知三维空间中四点A、B、C、D，如何判断线段AB与CD是否相交，若相交则求出交点。

分析：

• AB、CD要相交，则AB、CD必须要在同一平面内
• 快速排斥和跨立实验判断是否相交
• 几何法分析求出交点

先来看看效果，紫色小球为交点。

2 求解

2.1 AB、CD是否共面与平行

要判断AB、CD是否共面，其实就是判断A、B、C、D四个点是否共面。我们知道三点确定一个平面，如果AB垂直于ACD三点所在平面的法线，则说明A、B、C、D四点共面。
A、C、D三点所在平面的法线怎么求？
很简单，两个向量的叉乘就是这两个向量所在平面的法线。

即ACD平面的法线$\overrightarrow{N}$ = $\overrightarrow{CA}$×$\overrightarrow{CD}$。
然后又如何判断$\overrightarrow{N}$是否与$\overrightarrow{AB}$垂直呢？
如果$\overrightarrow{N}$垂直于$\overrightarrow{AB}$，则它们的夹角为90°，这时我们可以根据$\overrightarrow{N}$与$\overrightarrow{AB}$的点积或者叉积来判断。
若$\overrightarrow{N}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
用点积来判断，则有$\overrightarrow{N}$·$\overrightarrow{AB}$ = |$\overrightarrow{N}$||$\overrightarrow{AB}$| $\cos 90°$ = 0；
用叉积来判断，需先把$\overrightarrow{N}$和$\overrightarrow{AB}$化为单位向量，则有|$\overrightarrow{N}$·$\overrightarrow{AB}$| = |$\overrightarrow{N}$||$\overrightarrow{AB}$| $\sin 90°$ = 1。
这里我们用点积来写代码。

Vector3 ab = b - a;
Vector3 ca = a - c;
Vector3 cd = d - c;

Vector3 v1 = Vector3.Cross(ca, cd);

if (Mathf.Abs(Vector3.Dot(v1, ab)) > 1e-6)
{
    // 不共面
    return false;
}

AB和CD平行时，两者的夹角为0°或180°，也可用点积或叉积来判断，这里就不再多说了。

2.2 快速排斥与跨立实验判断AB、CD是否相交

2.2.1 快速排斥

快速排斥的作用是先预处理一下，先排出掉根本不可能相交的情况，以减少不必要的运算。
其原理就是判断AB的包围盒与CD的包围盒是否有重叠的部分。什么意思呢？看图就明白了。

三维的同理。

代码怎么写呢？如下。

// 快速排斥
if (Mathf.Min(a.x, b.x) > Mathf.Max(c.x, d.x) || Mathf.Max(a.x, b.x) < Mathf.Min(c.x, d.x)
   || Mathf.Min(a.y, b.y) > Mathf.Max(c.y, d.y) || Mathf.Max(a.y, b.y) < Mathf.Min(c.y, d.y)
   || Mathf.Min(a.z, b.z) > Mathf.Max(c.z, d.z) || Mathf.Max(a.z, b.z) < Mathf.Min(c.z, d.z)
)
    return false;

2.2.2 跨立实验

什么是跨立呢？比如A、B两点分别位于CD的左右两边，我们就说A、B跨立CD。
如果两条线段相交，它们必然是互相跨立的嘛。
怎么判断跨立呢？用向量的叉积。
如图，AB跨立CD的充要条件是$\overrightarrow{CA}$×$\overrightarrow{CD}$ · $\overrightarrow{CD}$×$\overrightarrow{CB}$ > 0。为什么？因为AB跨立CD时，$\overrightarrow{CA}$×$\overrightarrow{CD}$ 所得法线的方向与$\overrightarrow{CD}$×$\overrightarrow{CB}$所得法线的方向是相同的，所以它们两者的点积>0。

叉积结果的方向是通过右手定则来判定的（为什么是右手定则而不是左手，因为叉积的数学定义就是用的右手），比如$\overrightarrow{CA}$×$\overrightarrow{CD}$ ，我们拿出右手，大拇指垂直于CA、CD所在平面，然后食指~小指四指从CA弯向CD，此时大拇指的方向即$\overrightarrow{CA}$×$\overrightarrow{CD}$的方向(这里是指向屏幕内)。
代码如下：

// 跨立试验
if (Vector3.Dot(Vector3.Cross(-ca, ab), Vector3.Cross(ab, ad)) > 0
    && Vector3.Dot(Vector3.Cross(ca, cd), Vector3.Cross(cd, cb)) > 0)
{
    // 相交
    return true;
}

2.3 计算交点

咱们先写结论。

AO与AB的比值求到了，O点也就能求到了。
结论怎么来的？分析如下：

① 咱们先做条辅助线CE，CE平行于AB，且与AB等长。

② 则有ΔAFO相似于ΔEGC，则有

③ 则有


④根据叉积的定义，又有

⑤于是乎，就有

⑥我们设$\overrightarrow{v1}$=$\overrightarrow{CA}$×$\overrightarrow{CD}$ ，$\overrightarrow{v2}$=$\overrightarrow{CD}$×$\overrightarrow{AB}$ ,我们知道$\overrightarrow{v1}$与$\overrightarrow{v2}$的夹角α为0°或180°，
则$\overrightarrow{v1}$·$\overrightarrow{v2}$ = |$\overrightarrow{v1}$|·|$\overrightarrow{v2}$| $\cos \alpha$= ±|$\overrightarrow{v1}$|·|$\overrightarrow{v2}$|，
就有

这里我们用点积来计算，主要是为了能够求出AB和CD不直接相交，但AB的延长线和CD相交的交点。比如我们把下面提供的代码中的快速排斥和跨立试验给注释掉，就能求出延长线的交点。

3 完整项目

如下。

    /// <summary>
    /// 计算AB与CD两条线段的交点.
    /// </summary>
    /// <param name="a">A点</param>
    /// <param name="b">B点</param>
    /// <param name="c">C点</param>
    /// <param name="d">D点</param>
    /// <param name="intersectPos">AB与CD的交点</param>
    /// <returns>是否相交 true:相交 false:未相交</returns>
    private bool TryGetIntersectPoint(Vector3 a, Vector3 b, Vector3 c, Vector3 d, out Vector3 intersectPos)
    {
        intersectPos = Vector3.zero;

        Vector3 ab = b - a;
        Vector3 ca = a - c;
        Vector3 cd = d - c;

        Vector3 v1 = Vector3.Cross(ca, cd);

        if (Mathf.Abs(Vector3.Dot(v1, ab)) > 1e-6)
        {
            // 不共面
            return false;
        }

        if (Vector3.Cross(ab, cd).sqrMagnitude <= 1e-6)
        {
            // 平行
            return false;
        }

        Vector3 ad = d - a;
        Vector3 cb = b - c;
        // 快速排斥
        if (Mathf.Min(a.x, b.x) > Mathf.Max(c.x, d.x) || Mathf.Max(a.x, b.x) < Mathf.Min(c.x, d.x)
           || Mathf.Min(a.y, b.y) > Mathf.Max(c.y, d.y) || Mathf.Max(a.y, b.y) < Mathf.Min(c.y, d.y)
           || Mathf.Min(a.z, b.z) > Mathf.Max(c.z, d.z) || Mathf.Max(a.z, b.z) < Mathf.Min(c.z, d.z)
        )
            return false;

        // 跨立试验
        if (Vector3.Dot(Vector3.Cross(-ca, ab), Vector3.Cross(ab, ad)) > 0
            && Vector3.Dot(Vector3.Cross(ca, cd), Vector3.Cross(cd, cb)) > 0)
        {
            Vector3 v2 = Vector3.Cross(cd, ab);
            float ratio = Vector3.Dot(v1, v2) / v2.sqrMagnitude;
            intersectPos = a + ab * ratio;
            return true;
        }

        return false;
    }

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博主个人博客本文链接。

4 参考文章

文中的方法来自这两篇文章，由衷感谢两位博主。

• 向量叉乘求三维空间中两直线(或线段)的交点
• 计算几何——快速排斥实验和跨立实验