递归算法是我们经常遇到的算法，如何分析其时间复杂度是个问题。本文介绍4种求解方法。

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一、递归函数复杂度求解

1. 迭代方法

迭代地展开递归式，将其转化为和式，然后求解。

举个例子：
$$T(n)=2T(\frac{n}{2})+cn$$

首先将其迭代展开：
$$\begin{array}{rl}T(n)& =2T(\frac{n}{2})+cn\\ & =2^{2}T(\frac{n}{2^2})+cn+cn\\ & =2^{3}T(\frac{n}{2^3})+cn+cn+cn\\ & =\dots \\ & =2^{k}T(\frac{n}{2^k})+kcn\end{array}$$

接下来是关键一步，我们假设当展开到第$k$次时，递归结束，即$\frac{n}{2^k}=1$，接下来要将未知数$k$全部替换成$n$，则有：
$$\begin{gathered} \frac{n}{2^k}=1\Rightarrow n=2^k \\ \begin{array}{rl}T(n)& =2^{k}T(\frac{n}{2^k})+kcn\\ & =2^{k}T(1)+kcn\\ & =nT(1)+cn\log n\\ & =\Theta (n\log n)\end{array} \end{gathered}$$
至此求解完成，$T(n)$的时间复杂度为$\Theta (n\log n)$，如果要求不高的话，可以写低阶函数$O$。

需要说明的一点是，我们通常将${\log }_{2}n$写作$\log n$。

总结一下：

迭代法求解递归函数复杂度：

1. 迭代展开，将递归函数展成具有规律的和式。
2. 假设第$k$次展开递归结束，达到递归终点$T(1)$。
3. 利用$k$与$n$的关系，将和式里的$k$全部替换为$n$的表达式。
4. 求解时间复杂度。当式子复杂不易求解时，可以采用放缩的方式来求上界\下界。

2. 变量代换法

可能有某些递归方程，通过变量代换后可以变成我们熟悉的样子，此时可以用这种方法。

举个例子：
$$T(n)=2T(\frac{n}{2}+17)+n$$
我们发现，这个式子好像和我们刚才求结果的式子的形式差不多，我们做一下处理，令$n=m+34$：
$$\begin{gathered} n=m+34 \\ \begin{array}{rl}T(n)& =2T(\frac{n}{2}+17)+n\\ \Rightarrow T(m+34)& =2T(\frac{m}{2}+34)+m+34\end{array} \end{gathered}$$
令$T(m+34)=S(m)$，则有：
$$S(m)=2S(\frac{m}{2})+m+34$$
此时我们便可以依照上个例子，直接给出结论：$S(m)=\Theta (m\log m)$，由$n=m+34$可知，$T(n)=\Theta (n\log n)$。

总结一下：

变量代换求解递归函数复杂度：

1. 观察递归函数形式特点，发现与已经做过的类似。
2. 找到合适的变量进行代换。
3. 求解代换后的时间复杂度。
4. 转化为原式的时间复杂度

此方法的缺点很明显：当看不出来合适的变量代换时便不能使用；但是对于有些题目而言，不使用此方法的话，很难求解，举一个例子：
$$\begin{gathered} 求解：T(n)=2T(n^{\frac{1}{2}})+\log n \\ 令n=2^m，则有： \\ T(2^m)=2T(2^{\frac{m}{2}})+m \\ 令T(2^m)=S(m)，则： \\ S(m)=2S(\frac{m}{2})+m \\ \Rightarrow S(m)=\Theta (m\log m) \\ \Rightarrow T(n)=\Theta (\log n\log \log m) \end{gathered}$$

3. Master定理

该定理用于求解$T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$型函数，其中$a\ge 1,b>0$，$f(n)$为正函数。

Master定理

当满足以上条件时，有以下结论：

1. 若$f(n)=O(n^{{\log }_{b}a-\epsilon }),\epsilon >0$，则$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a})$
2. 若$f(n)=\Theta (n^{{\log }_{b}a})$，则$T(n)=\Theta (n^{lo{g}_{b}a}\log n)$
3. 若$f(n)=\Omega (n^{{\log }_{b}a+\epsilon }),\epsilon >0$，且对于所有充分大的$n$有$af(\frac{n}{b})\le Cf(n),C<1$，则$T(n)=\Theta (f(n))$

想必大家看到这一大堆必然头疼，我们直观地来看，上述定理描述了以下含义：

比较$f(n)$与$n^{{\log }_{b}a}$阶数的大小：

1. 若$f(n)$小于$n^{{\log }_{b}a}$，且是多项式地小于，即对于某个常数$\epsilon >0,f(n)=O(n^{{\log }_{b}a-\epsilon })$，则有$T(n)=\Theta (n^{{\log }_{b}a})$
2. 若$f(n)$大于$n^{{\log }_{b}a}$，且是多项式地大于，即对于某个常数$\epsilon >0,f(n)=\Omega (n^{{\log }_{b}a+\epsilon })$，则有$T(n)=\Theta (f(n))$
3. 若$f(n)$与$n^{{\log }_{b}a}$同阶，则$T(n)=\Theta (n^{{\log }_{b}a}\lg n)=\Theta (f(n)\log n)$

这样一来，我们便可以简单记为这俩谁大就和谁同阶（同时指出是多项式地大\小与），它们同阶时乘上个$\log n$即可。

举个例子：
$$\begin{gathered} 求解：T(n)=9T(\frac{n}{3})+n \\ a=9,b=3,f(n)=n,n^{lo{g}_{b}a}=n^2 \\ 故f(n)=n=O(n^{2-1}),\epsilon =1 \\ 则有T(n)=\Theta (n^2) \end{gathered}$$

总结一下：

Master定理求解递归函数复杂度

1. 判断函数类型是否符合Master定理条件
2. 写出$a,b,f(n),n^{{\log }_{b}a}$，比较$f(n),n^{{\log }_{b}a}$阶数的大小
3. 若不同阶，需同时指出$\epsilon$（这一点很重要，因为并不是满足条件的所有式子都使用，若不能指出$\epsilon$，即并不是多项式地大小与，则定理不适用）；若同阶，直接写答案

可以看到，使用Master定理极大地简化了运算。但同时，Master定理的局限性较大，一方面是对于递归函数形式的限制，另一方面必须是多项式地大于小于，非多项式大小与的也不适用。

目前不断有学者对Master定理进行拓展，以扩大它的适用范围，但因其较为复杂，本文给出的形式已经满足绝大部分需求，感兴趣的读者可以自行查阅相关文献了解。

4. 先猜后证

顾名思义，首先猜测答案应该是多少，然后适用数学归纳法进行证明。

举个例子：
$$求解：T(n)=2T(\frac{n}{2}+17)+n$$
这个题我们在前面已经求解过，但还请读者暂时忘记答案。

由于$\frac{n}{2}$与$\frac{n}{2}+17$阶数相同，在$n$充分大时近似相等，所以我们有理由猜测，当$n$充分大时，$T(\frac{n}{2})\approx T(\frac{n}{2}+17)$，故$T(n)=2T(\frac{n}{2})+n$，易知$T(n)=\Theta (n\log n)$，接下来再用数学归纳法进行证明。

这种方法我个人不是很推荐使用，缺点很明显：如果猜的稍微有偏差，则可能造成解不出来；可能猜对了，但数学归纳法证明不出来。总的来说就是适用于数学能力较强的人，我个人还是更建议前三种方法。

但是，我们不能抛弃这种方法，因为在某些极端情况下，猜测答案反而是最优选择，可以通过先猜大范围，然后不断压缩上界，提高下界的方法来达到”逼近“正确答案的目的。

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二、总结

本文介绍了4种递归函数的求解方法，在解题的过程中，我们应该考虑以下顺序：Master定理 > 变量代换 > 迭代求解 > 先猜后证。

同时，对于常见的递归形式，应该记住其复杂度，如$T(n)=2T(\frac{n}{2})+cn\Rightarrow \Theta (n\log n)$等。