前言

用插值的方法对数据进行近似时，要求所得到的插值多项式经过已知节点。在数据点比较多的情况下，插值多项式往往是高次多项式，这时就很容易出现振荡现象，也称之为龙格现象。这种现象虽然在插值节点上没有误差，但是在插值节点之外插值误差变得很大，从整体上看，插值逼近的效果就变得很差。

由此我们需要利用数据拟合方法，数据拟合就是求一个简单的函数或多项式，例如是一个低次多项式，不要求一定得通过已知的这些点，而要求在整体上尽量好的逼近原函数。这时，在每个已知点上就会有误差。数据拟合就是从整体上使误差尽量小一些。

一. 多项式拟合

n次多项式的表达式如下：

给定L个数据，曲线与数据点的残差可计算如下：

残差的平方和R可计算为如下：

进一步化简R可得：

根据函数的知识铺垫，为了使R最小化，只需要R关于的偏导数为0即可，如下：

进一步化简可得：

将上述形式写成矩阵可得如下：

在MATLAB中，多项式拟合命令格式如下：

p=polyfit(x,y,n)
%x和y为原始的样本点构成的向量
%n为选定的多项式阶次
%p为多项式系数按降幂排列得出的行向量

例题1

自行选择一些来自f(x)的数据点，用多项式拟合的方法在3、4、5、8不同阶次下进行拟合。

解：

MATLAB代码如下：

%拟合该数据的3次多项式
x0=0:.1:1;
y0=(x0.^2-3*x0+5).*exp(-5*x0).*sin(x0);
p3=polyfit(x0,y0,3);
vpa(poly2sym(p3),10) %显示该多项式

%绘制拟合曲线
x=0:0.01:1;
y_normal=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);
y1=polyval(p3,x); %拟合数据结果
plot(x,y1,x,y_normal,x0,y0,'o') %两条线，一组离散点

%4次、5次、8次进行拟合
p4=polyfit(x0,y0,4);y2=polyval(p4,x);
p5=polyfit(x0,y0,5);y3=polyval(p5,x);
p8=polyfit(x0,y0,8);y4=polyval(p8,x);
figure; %第二张图
plot(x,y_normal,x0,y0,'o',x,y2,x,y3,x,y4) %四条线，一组离散点

 运行结果：

 

例题2

对f(x)进行3次、5次、8次、10次多项式拟合，并分析Taylor幂级数的展开效果。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;

%多项式拟合
x0=-1+2*[0:10]/10;
y0=1./(1+25*x0.^2); %生成样本点）

x=-1:.01:1; ya=1./(1+25*x.^2); %标准点

p3=polyfit(x0,y0,3); y1=polyval(p3,x);
p5=polyfit(x0,y0,5); y2=polyval(p5,x);
p8=polyfit(x0,y0,8); y3=polyval(p8,x);
p10=polyfit(x0,y0,10); y4=polyval(p10,x);

%绿色线为标准值，红色线为3次拟合，蓝色线为5次拟合，分段线为8次拟合，点线为10次拟合
plot(x,ya,'g',x,y1,'r',x,y2,'b',x,y3,'--',x,y4,':')

%Taylor幂级数展开
syms X;
Y=1/(1+25*X^2);
P=taylor(Y,X,'order',10); %展开

%画图
X1=-1:0.01:1;
Ya=1./(1+25*X1.^2);
Y1=subs(P,X,X1);
figure;
plot(X1,Ya,'--',X1,Y1)
legend('标准值','Taylor展开')

 运行结果：

对结果的分析：此例题中不论是多项式拟合，还是Taylor展开的结果，都不太精确。

二. 函数线性组合的曲线拟合

给定某函数的线性组合，如下：

上式子中均为已知函数，为待定系数。

如果已经测出了M组数据：

则可以建立如下线性方程组：

上式子中的c理解为，且矩阵A和y理解为如下：

由此，该方程的最小二乘解为：

c=A\y

例题3

假设测出一组数据如下表，且函数原模型y(x)已给定，用已知数据求出待定系数的值。

	0	0.2	0.4	0.7	0.9	0.92	0.99	1.2	1.4	1.48	1.5
	2.88	2.2576	1.9683	1.9258	2.0862	2.109	2.1979	2.5409	2.9627	3.155	3.2052

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;

%计算系数
x=[0 0.2 0.4 0.7 0.9 0.92 0.99 1.2 1.4 1.48 1.5]';
y=[2.88 2.2576 1.9683 1.9258 2.0862 2.109 2.1979...
    2.5409 2.9627 3.155 3.2052]';
A=[ones(size(x)),exp(-3*x),cos(-2*x).*exp(-4*x),x.^2];
c=A\y

%图形显示
x0=[0:0.01:1.5]';
A1=[ones(size(x0)),exp(-3*x0),cos(-2*x0).*exp(-4*x0),x0.^2];
y1=A1*c;
plot(x0,y1,x,y,'o')
legend('拟合函数','原数据点')

 运行结果：

例题4

假设测出一组实际数据，对其进行函数拟合。

 解：

第一步：对给定数据进行分析

MATLAB代码如下：

clc;clear;

%数据分析
x=[1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 1.8221 2.0138 2.2255...
    2.4596 2.7183 3.6693];
y=[0.6795 0.6006 0.5309 0.4693 0.4148 0.3666 0.3241 0.2865...
    0.2532 0.2238 0.1546];
plot(x,y,x,y,'*');

%分别对x,y进行对数变换
x1=log(x);
y1=log(y);
figure;
plot(x1,y1);

运行结果：

由此可推断出x与y之间类似对数关系，如下：

可以利用线性函数拟合的方法来得出线性参数，如下：

第二步：拟合求解参数

MATLAB代码如下：

clc;clear;

%数据分析
x=[1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 1.8221 2.0138 2.2255...
    2.4596 2.7183 3.6693];
y=[0.6795 0.6006 0.5309 0.4693 0.4148 0.3666 0.3241 0.2865...
    0.2532 0.2238 0.1546];


%分别对x,y进行对数变换
x1=log(x);
y1=log(y);

%求解参数
A=[x1',ones(size(x1'))];
c=[A\y1']';
a=c(1)
b=exp(c(2))

 运行结果：

a =-1.233846992794170
b =

   0.768715215732740

所以最终的拟合函数为：

例题5

对函数f(x)进行多项式拟合，可以选择各个函数为。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
n=8;
x=[0:0.1:1]';
y=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);

A=[];
for i=1:n+1,
    A(:,i)=x.^(n+1-i);
end

c=A\y;
vpa(poly2sym(c),5) %表示为多项式形式

运行结果：

ans =
- 8.2586*x^8 + 43.566*x^7 - 101.98*x^6 + 140.22*x^5 - 125.29*x^4 + 74.45*x^3 - 27.672*x^2 + 4.9869*x + 4.2037e-7