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1.封闭性

从笛卡尔积A×A到集合A的代数运算o，称作“A上的代数运算”，或者叫做“A上的二元运算”。

在上述代数运算中，集合A对代数运算o来说是“封闭的”，或者说代数运算o“具有封闭性”。

举个例子：

令A=Z（整数集），则+、-、×都是A上的代数运算，

在上述中，代数运算o=+/-/×，

则对于代数运算A×A——>A，A×A中的每一个元素（a,b），a和b都是A中的元素，也就是都是整数，

当o = +时，a+b也是整数，也就是说a+b∈A，因此+是A上的代数运算。

同理，当o为-或者×时，因为a-b和a×b都是整数，也就是都属于A，

因而都满足了映射（代数运算）的定义，

因此-和×也是A上的代数运算（因为A对于代数运算+ - ×都是封闭的，任意两个整数+ - ×之后都仍旧还是整数，属于A）。

 

2.结合律与交换律

如果o是A上的代数运算，那么它将满足结合律和交换律：

结合律：（a o b）o c = a o （b o c）

交换律：a o b = b o a

定理一：如果A上的代数运算满足结合律，那么在任意位置处加括号，都不会影响运算结果。

定理二：如果A上的代数运算既满足结合律、也满足交换律，那么在式子任意位置处加括号、以及交换式子任意元素的顺序，都不会影响运算结果。

例题1: a o b = b^3（b的三次方）中的代数运算o是否满足交换律和结合律？

解：对任意的a b c，

①（a o b）o c = b^3 o c = c^3，

a o（b o c）= a o c^3 =（c^3）^3 = c^9，

因为c^3 ≠ c^9，

即（a o b）o c ≠ a o（b o c），

所以不满足结合律。

②  a o b = b^3，b o a = a^3，

因为b^3 ≠ a^3，即a o b ≠ b o a，

所以也不满足交换律。

 

类似的，可以使用同样的方法证明a o b = a/b这个代数运算是否符合交换律与结合律。

 

有一点需要说明，关于运算表，是列元素 o 行元素，用我上一篇文章中的运算表来举例——

在这个表中，拿第一行与第一列元素举例，

是3 o 1 = 1，而不是1 o 3 = 1

1 o 3 不一定与 3 o 1 相等（这个代数运算 o 不一定满足交换律）。

有一个可用于判断是否适合交换律的直观方法：就是看运算表中元素是否关于主对角线元素对称。

代数运算 o 适用交换律，当且仅当 o 的代数运算表中的元素关于运算表主对角线元素对称。

 

 

3.消去律

对于代数运算o，如果

（1）由 a o b = a o c 可以推导出 b = c，则称代数运算 o 适合左消去律；

（2）由 b o a = c o a 可以推导出 b = c，则称代数运算 o 适合右消去律；

（3）o 既适合左消去律，又适合右消去律，则称 o 适合消去律。

举几个例子：

（1）定义 a o b = a + b，则 a o c = a + c；如果 a + b = a + c，那么一定有 b = c，因此+这个代数运算适合左消去律；同理可证它也适合右消去律；因此这个代数运算适合消去律。

（2）定义 a o b = b^3，则 a o c = c^3，如果 a o b = a o c，即 b^3 = c^3，那么一定有 b = c，因此它适合左消去律；

另外，b o a = a^3，c o a = a^3，显然 b o a = c o a，然而并不能据此推出 b = c，因此它不适合右消去律；

所以这个代数运算o并不适合消去律（只适合左消去律、而不适合右消去律）。

（3）定义 a o b = a，则 a o c = a，显然 a o b = a o c，然而并不能据此推导出 b = c，因此这个代数运算不适合左消去律；

另外，b o a = b，c o a = c，若然 b o a = c o a，那么则有 b = c，因此它适合右消去律；

因此这个代数运算o不适合消去律（只适合右消去律、而不适合左消去律）。

（4）定义 a o b = (a+b)^2，则 a o c = (a+c)^2，若 a o b = a o c，即 (a+b)^2 = (a+c)^2，开方后可得：a + b = a + c，或者 a + b = -(a + c) = -a - c，因此并不能推出 b = c，因此这个代数运算不适合左消去律；

另外 b o a = (b+a)^2，c o a = (c+a)^2，若 b o a = c o a，则有（b+a)^2 = (c+a)^2，开方后可得：b+a = c+a 或者 b+a = -(c+a) = -c - a，因此也不能推出 b = c，因此这个代数运算也不适合右消去律；

综上所述，这个代数运算不适合消去律。

 

根据运算表判断是否适合消去律的方法：

（1）若运算表中某一行出现相同的元素，则该代数运算不适合左消去律；

（2）若运算表中某一列出现相同的元素，则该代数运算不适合右消去律；

（3）当且仅当运算表中各行各列各自都没有相同的元素，这个代数运算才适合消去律。

 

（待续……）