IEEE 754 标准是现在主流的浮点数标准，除了常见语言中的 FP32、FP64 之类的类型，还有一些为了量化、加速深度学习的 FP8 类型（E4M3、E5M2）也是使用 IEEE 754 标准来定义无穷等含义。此外，通过了解和学习，在研究其他浮点数格式的时候也会有帮助，比如机器学习使用的 BFLOAT16。

如果你是为了考试，那么本文可能不太适合你，因为教材上使用的 IEEE 754 和 2008 往后版本的区别不少。

下图是 FP32、FP16、BF16 三种浮点格式对比（图自BFloat16: The secret to high performance on Cloud TPUs - Google Cloud）

本文主要以 IEEE 754 的 FP32 为例，展示结构和如何得到浮点数。

数据结构

IEEE 754 中，浮点数的结构为：

结构:	｜符号｜阶码｜尾数｜
FP32:	｜1位｜8位｜23位｜
FP64:	｜1位｜11位｜52位｜

举个例子，$-12.25$，基数（基值）为 2（也就是使用二进制表示）：

• 符号为-，也就是1；
• 尾数为12.25，也就是1100.01。

IEEE 中没有记录小数点位置的地方，也就是可以节约这些空间。如何做到这点的呢？这就是规格化。

也就是强制小数点在第一个1后面。于是可以得到 $1.10001$x$2^3$

• 阶码就是上面这个数中的指数部分+偏移量。FP32 偏移量为 127，3+127=130的二进制为1000 0010

这时候得到$-12.25$的二进制表达为：
$$-1.10001\ast 2^{10000010}$$

在机器中存放的时候，需要忽略尾数的最高的1，因为规格化要求小数点必须在第一个1后面。也就是说小数点前面肯定有个1，可以省下来一位，提高精度：

|  符号1位	|    阶码8位		|		       尾数23位				|
	  1			1000 0010		1000 1000 0000 0000 0000 0000

偏移量

这时候你可能好奇计算阶码的时候偏移量是什么，127是哪来的？

来看看文档（这个表格非常不错，如果你能理解每一个单元的含义，相信你也就真的懂了 IEEE 754。从中你也可以看到所谓的“阶码”、“尾数”的含义，我是没想到“尾数”居然是从英文翻译过来的）：

会发现偏移（bias）就是“emax, maximum exponent e”，也就是最大指数e，计算方法其实是：

$$2^{总位数-尾数-1}$$

为什么要有个偏移呢？

我在《原码、补码、反码、移码是什么？》- ZhongUncle’s CSDN中介绍移码的时候说到，它的含义就是“给数加上一个偏移数后，使其具有非负的表达形式”。

接下来我来解释这句话

下面e为指数，E为阶值。
E=e+bias。
FP32 的bias为127。
所以e的范围由E和bias决定。

E的范围是 $1$~$(2^n-2)$，根据这个范围和上面的公式，可知指数e的范围是 $(1-2^n)$~$-1$，也就是说，全是负的。加上偏移量bias之后，得到的阶码E就是正的了。这就是移码。

此外，你会发现E有两个数没有定义：E=0 和E=$(2^n-1)$，这也是为什么 FP32 的阶值E有 8 位，但是最大值是127，而不是255，是因为有一位用来表达其他的内容了。

阶值和尾数全为1或0的含义

教材中的IEEE 754（早期版本）

在某些教材中，会告诉你阶码自己也有个符号位，这么记也好。而且很多计算题都是这么出的。

｜  1位	｜	  8位	｜23位｜
｜  符号	｜阶符 ｜ 阶码｜尾数｜

这里阶码全是1的情况就要讨论了：

• 如果此时尾数非零，符号位任意，那么为NaN（不分两种）；
• 如果此时尾数为零，符号位为0（正），那么表示正无穷大；
• 如果此时尾数为零，符号位为1（负），那么表示负无穷大；

这里阶码全是0的情况就要讨论了：

• 如果此时尾数非零，符号位任意，那么为非规格化数，这里表示的阶值为-126，而且节约掉的小数点前那位是0；
• 如果此时尾数为零，符号位为0（正），那么表示正零；
• 如果此时尾数为零，符号位为1（负），那么表示负零；

IEEE 754 2019

下面这段内容是我在 IEEE 754 2019 上看到的，早期的版本（2008 之前）似乎没有这个定义或者不明确，如果你要考试就别看了，容易干扰。

不论后面尾数是什么，阶码1111 111x前面的1111 111是表示NaN，也就是无定义的数。

如果最后一位为1，则是sNaN（signaling NaN），否则为qNaN（quiet NaN）。二者的区别在于“signaling（信号）”，前者会发出一些浮点异常信号，所以经常在异常和处理机制中使用，后者很少发出浮点异常信号，就是“安静”。

浮点十进制转二进制

浮点数十进制转二进制的时候，需要分别考虑整数和小数部分。

以8.25为例。

整数部分8：

2|__8__       	----0
  2|__4__   	----0
	2|__2__		----0
	    1		----1	

然后倒着取上面右列的结果，为1000。

小数部分0.25：

 0.25
x   2
------
 0.50 		----整数部分为0
x   2
------
 1.00 		----整数部分为1

按顺序取结果的整数部分，也就是01。

合起来就是1000.01。

浮点二进制转十进制

反过来转换方法如下。

以1000.01为例。

整数部分1000：

1	0	0	0
2^3 2^2 2^1 2^0
1x8+0x4+0x2+0x1=8

按位置对应的次方（$2^{n-1}$）相加结果为8。

小数部分0.01同样使用位置对应的次方，不过这里小数点后面第一位对应的就是$2^{-1}$，如下：

0			1
2^(-1)	2^(-2)
0x0.5	+ 	1x0.25	= 0.25

结果为0.25。

整数和小数部分相加，得到8.25。

浮点的加减计算

浮点数的运算时分开进行阶码和尾数运算。

对齐小数点

上面规格化的时候，我们强制让第一个1出现在小数点左边，所以不能直接尾数和尾数、阶数和阶数运算。比如$3.2$x$10^3$和$1.2$x$10^4$就不能直接各部分相加。

所以我们要对齐小数点，换句话说就是对齐阶数。比如上面的$1.2$x$10^4$变成$12$x$10^3$就可以各部分相加了。

二进制的时候，由于阶数是倒着数的，所以小的一个加一个数就和大的一样了，或者大的减一个数就和小的一样。

比如指数3对应阶数为1000 0010，4对应的是1000 0011，可以看到前者加一就是后者。

在对齐小数点的时候，也要对尾数进行操作，方法就是右移（或者乘 2，对于二进制无符号数来说，这两个操作是等价的，右移更快，因为位移的电路比乘法的“便宜”）。

加减尾数

阶数对齐之后，注意还有规格化忽略掉的一位，还原那一位之后，就可以直接加减尾数了。

再次规格化

在计算完之后，需要对结构再次规格化。如果在规格化的时候，有位超出了规定位数，就要舍去了。方法有四种：

• 0 舍 1 入（二进制版“四舍五入”）；
• 正向舍入：取大于自己的第一个可取数；
• 负向舍入：取小于自己的第一个可取数；
• 截断法：直接舍去超出的部分。

判断指数是否溢出

计算完之后要判断结果的指数是否超出范围，也就是是否溢出。

以 FP32 为例：

• 如果指数超出 127，那么发生上溢，产生一个异常；
• 如果指数小于 127，那么发生下溢，通常直接当0。

希望能帮到有需要的人～

参考资料

IEEE 754-2019 - IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic：2019年的新文档

IEEE 754-1985 - IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic
：1985年的老文档。

BFloat16: The secret to high performance on Cloud TPUs - Google Cloud

Signaling NaN - From MathWorld