恰当微分方程

• $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)$$ $$=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$$
• $M,N$关于$x,y$连续且可微（有连续一阶偏导）

判断恰当微分方程的充要条件

• $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$

证充分：

• 思路：若$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$满足以上条件，则能找到一个$u(x,y)$使$$\frac{\partial u}{\partial x}=M,\frac{\partial u}{\partial y}=N$$成立
  • 从$\frac{\partial u}{\partial x}=M$出发，得$$u=\int M(x,y)\mathrm{d}x+\phi (y)$$
  • 再对y求偏导：$$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{d}\phi (y)}{\mathrm{d}y}=N$$ 得$$\frac{\mathrm{d}\phi (y)}{\mathrm{d}y}=N-\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)\mathrm{d}x$$所以只要证明右边的一堆和$x$无关，就能说明真的存在一个$\phi (y)$,那就真的存在一个满足条件的$u$了！证明右边与x无关$\iff$证明右边一堆对$x$求偏导=0$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial x}\left[N-\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)\mathrm{d}x\right]& =\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)\mathrm{d}x\right]\\ & =\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{\partial }{\partial x}\int M(x,y)\mathrm{d}x\right]\\ & =\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}=0\end{array}$$
  • 证毕，且$$\phi (y)=\int [N-\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)\mathrm{d}x]dy$$
  • 因此求得$$u=\int M(x,y)dx+\int [N-\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)\mathrm{d}x]dy$$恰当微分方程的通解为$$u=c$$
  • 或者$$u=\int N(x,y)dy+\int [M-\frac{\partial }{\partial x}\int N(x,y)\mathrm{d}y]dx$$

求解恰当微分方程常见方法

常规方法

• ①先判断是否为恰微$$\frac{\partial M}{\partial y}?=\frac{\partial N}{\partial x}$$
• ②若是，计算$\int M(x,y)dx$
• ③再算：$$\int [N-\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)\mathrm{d}x]dy$$

分项组合

• 把单独的$f(x)dx,\psi (y)dy$单拎出来，剩下的$g(x,y)dx,h(x,y)dy$放在一起看是否为某些特定函数的全微分，一般有
  • $$y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y=\mathrm{d}(xy)$$
  • $$\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{y^2}=\mathrm{d}\left(\frac{x}{y}\right)$$
  • $$\frac{-y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y}{x^2}=\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right)$$
  • $$\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{xy}=\mathrm{d}\left(\ln \left|\frac{x}{y}\right|\right)$$
  • $$\frac{ydx-xdy}{x^2+y^2}=d\left(\arctan \frac{x}{y}\right)$$
  • $$\frac{ydx-xdy}{x^2-y^2}=\frac{1}{2}d\left(\ln \left|\frac{x-y}{x+y}\right|\right)$$

积分因子

• 积分因子的目的：将非恰微方程转化为恰微
• 存在连续可微的$\mu =\mu (x,y)\ne 0$使得$$\mu (x,y)M(x,y)dx+\mu (x,y)N(x,y)dy=0$$变成恰微，此时称$\mu (x,y)$为方程$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$的积分因子
• 即存在函数$v$，使得$$\mu Mdx+\mu Ndy\equiv dv=0$$此时$v(x,y)=c$是原方程的通解
• 注意：①不同方程有不同积分因子，因此最后的通解形式会不一样；②只要方程有解，必有积分因子

成为积分因子的充要条件

• $$\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$$即$$N\frac{\partial \mu }{\partial x}-M\frac{\partial \mu }{\partial y}=\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)\mu$$

求积分因子

通常先看是否存在只与$x或y$有关的积分因子
结论：

• 方程有只与$x$有关的积分因子的充要：$$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\psi (x)$$
• 只与$y$有关的充要:$$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{-M}=\phi (y)$$

证明：
这不就直接让$\frac{\partial \mu }{\partial x}$或$\frac{\partial \mu }{\partial y}=0$就得了