Diamond-Dybvig 银行模型(DD模型)

模型假定

这是一个包含 $t=0,1,2$ 三个时刻的模型。模型中仅存在一种消费品，既可以用来消费，也可以用来投资。在 $t=0$ 的时刻，每位消费者均有 1 单位的消费品禀赋。在 $t=1,2$ 时刻，消费者不再获得新的禀赋。在各个时刻之间，消费者的主观贴现因子均为 1。

两种资产

• 短期资产（流动性资产）：短期资产是一种储藏技术。它可以将 $t$ 时刻的 1 单位消费品转化为 $t+1$ 时刻的 1 单位消费品；
• 长期资产（非流动性资产）：长期资产需要两期才能获得收益。在 $t=0$ 时刻将 1 单位消费品投资到长期资产上，在 $t=2$ 的时刻可以产生 R（>1）单位的消费品。

刻画流动性需求

• 假设消费者只在 1 或 2 时刻消费。也就是说，消费者获得消费品禀赋的时间与消费的时间不相同。因此，消费者必须要借助两种资产来将 0 时刻的禀赋转移到 1 或 2 时刻。
• 消费者在消费时间的偏好上存在不确定性。消费者有 λ 的概率是一个“前期消费者”（无耐心），只能够通过 1 时刻的消费获得效用。消费者还有 1-λ 的概率是一个“后期消费者”（有耐心），只能通过 2 时刻的消费获得效用。因此，对前期（后期）消费者来说，2 时刻（1时刻）的消费没有价值。消费者的效用函数为
  $$U(c_1,c_2)=\{\begin{array}{l}u(c_1),概率为\lambda \\ u(c_2),概率为1-\lambda \end{array}$$

为什么说这样能刻画流动性需求呢?

• 在 0 时刻，消费者并不知道自己是前期还是后期消费者。但他知道自己成为前期消费者的概率 λ。在 0 时刻，消费者必须在这样的不确定性之下来做投资决策，决定将多少禀赋投资在短期资产上，多少投资在长期资产上。

消费者最大化期望效用
$$EU=\lambda u(c_1)+(1-\lambda )u(c_2)$$

三种状态下的配置

自给自足(Autarky)状态下的配置

在自给自足的情况下，消费者完全靠自己 0 时刻投资所产生的回报来支持其 1 时刻或 2时刻的消费。令 $\theta$ 为消费者在 $\theta$ 时刻投资在短期资产中的禀赋比例。
$$\{\begin{array}{l}{c}_1=\theta \\ c_2=\theta +(1-\theta )R\end{array}$$

注意:上式只有其中一个会实现，在1期消费了，在2期就不会消费了；在一期没消费，那么就一定在2期消费；

求解消费者最优效用
$$\begin{gathered} \underset{\theta }{\max }EU=\lambda u(c_1)+(1-\lambda )u(c_2) \\ s.t.\{\begin{array}{l}{c}_1=\theta \\ c_2=\theta +(1-\theta )R\end{array} \\ \begin{array}{rl}FOC:& \lambda u^{\prime }(c_1)+(1-\lambda )u^{\prime }(c_2)(1-R)=0\\ \Rightarrow & \lambda u^{\prime }(c_1)=(1-\lambda )(R-1)u^{\prime }(c_2)\\ \Rightarrow & 解出{\theta }^{ATK}\Rightarrow E{U}^{ATK}\end{array} \end{gathered}$$

$E{U}^{ATK}$视为消费者的保留效用，作为比较的基准(如果任何一种制度安排达不到该值，那么就会回到自给自足的状态下)

中央计划者(Central Planner)的配置

虽然在消费者的微观层面存在不确定性，但在许多消费者加总起来的宏观层面其实没有不确定性。大数定律告诉我们，不管单个消费者的类型是怎样的，总人口中总有 $\lambda$ 比例的前期消费者，以及 $1-\lambda$ 比例的后期消费者。因此，如果让一个中央计划者（central planner）来配置资源，可以让每个消费者都达到最高的 0 时刻的期望效用。这将产生最佳的配置。我们假设经济中有总数量为 N 的消费者（N 足够大，以使得大数定律生效）。则经济中 0 时刻消费品总禀赋为 N。经济中前期消费者的数量为 $\lambda N$，后期消费者数量为$(1-\lambda )N$。
$$\{\begin{array}{l}\lambda N{c}_1=\theta N\\ (1-\lambda )N{c}_2=(1-\theta )NR\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda c_1=\theta \\ (1-\lambda )c_2=(1-\theta )R\end{array}$$

求解消费者最优效用
$$\begin{gathered} \underset{\theta }{\max }EU=\lambda u(c_1)+(1-\lambda )u(c_2) \\ s.t.\{\begin{array}{l}{c}_1=\frac{\theta }{\lambda }\\ c_2=\frac{(1-\theta )R}{1-\lambda }\end{array} \\ \begin{array}{rl}FOC:& \lambda u^{\prime }(c_1)\frac{1}{\lambda }+(1-\lambda )u^{\prime }(c_2)(1-R)\frac{-R}{1-\lambda }=0\\ \Rightarrow & u^{\prime }(c_1)=u^{\prime }(c_2)R\\ \Rightarrow & 解出{\theta }^{BST}\Rightarrow E{U}^{BST}\end{array} \end{gathered}$$

由于$R>1$,所以肯定有$c_1^{BST}<c_2^{BST}$,$E{U}^{BST}$视为消费者的最大效用，作为另一个比较的基准；

市场均衡(market equilibrium)的配置

在自给自足的情况下，消费者在发现自己是前期型消费者时，总是会后悔自己投资了长期资产。而后期型消费者则总会后悔自己投资了短期资产。很容易想到，如果让两类消费者可以相互交易，她们的效用都能得到提升。

C-CAPM中证明了中央计划者与Arrow-Debreu市场的等价性，但是Arrow-Debreu在这个问题下似乎不存在，在这里的模型中，每个消费者的类型（前期、后期）是决定世界状态的因素。如果市场中有 $N$ 个消费者，世界的状态就会有 $2N$ 个。而且，这 $2N$ 个 Arrow 证券在 0 时刻就需要交易完成。令问题变得更加棘手的是，消费者在 1 时刻的类型只是消费者自己的私人信息，别人都无法知道消费者的类型（后期消费者总是可以伪装成前期消费者）。由于有这样的障碍，在这个模型中不存在 Arrow-Debreu 市场。

至于后期消费者为什么要伪装成前期消费者？

• 这个行为是不理性的，因为他又不在前期消费，他明明可以获得后期的投资收益，但却选择在前期将长期资产换成短期资产，随后持有短期资产到后期；(这里先埋下伏笔)

所以在这个模型中真正可能实现的市场是在 1 时刻，当消费者获知了自己的类型之后，前期消费者和后期消费者在市场上交易其资产。前期消费者将自己手中的长期资产出售给后期消费者，换取后期消费者手中的短期资产。

如果以消费品为计价单位的长期资产的价格为 $p$（短期资产 1 时刻的价格显然为 1），则前期和后期消费者的人均消费分别为
$$\{\begin{array}{l}{c}_1=\theta +(1-\theta )p\\ c_2=(1-\theta +\frac{\theta }{p})R\end{array}$$
下证： $p=1$
反证：

1. 若$p>1$,那么只要持有长期资产，到1期去换成消费品就能获得比持有短期资产更优；
2. 若$p<1$,那么只要持有短期资产，到1期去换成长期资产就能获得比持有长期资产更优；

所以
$$\{\begin{array}{l}{c}_1^{MKT}=1\\ c_2^{MKT}=R\end{array}\Rightarrow E{U}^{MKT}$$
显然，$E{U}^{MKT}>E{U}^{AKT}$,因为下式不能同时取等号
$$\{\begin{array}{l}{c}_1^{ATK}=\theta \le 1\\ c_2^{ATK}=\theta +(1-\theta )R\le R\end{array}$$
但是，$E{U}^{MKT}$未必与$E{U}^{BST}$一样优(除非所有消费者的效用函数都是对数效用函数)

将三种状态的消费可行集画在图上为:

重要问题： $p=1$?

1. 在时刻1，的资产市场中，长期资产的价格对交易数量完全不敏感，说明了市场对流动性的提供是无效率的
2. 在时刻0，消费者根据1时期长期资产价格$p=1$来做决策，$p=1$没有体现出消费者对自己未来的预期
   1. 前期消费者在时刻0没有动力持有长期资产
   2. 后期消费者在时刻0没有动力持有短期资产

银行能比市场均衡更好

1. 假设所有消费者在0时刻将所有储蓄存入银行, 对于银行所收到的每单位 0 时刻的存款（以消费品作为计量单位），储户有权在 1 时刻提款 $c_1^{BNK}$，或者在 2 时刻提款 $c_2^{BNK}$;
2. 银行并不区分储户是前期消费者还是后期消费者，也没有区分的能力（是前期还是后期消费者是储户的私人信息）。银行只是按照储户提款的时间（时刻 1 或时刻 2）来支付。
3. 银行业是自由进入，完全竞争的。银行之间的竞争使得银行取得零利润。而为了尽可能地争取储户，银行会愿意给储户提供尽可能高的 0 期期望效用。

基于以上三点，其实银行与中央计划者就没有什么区别了； 当N很大时，不确定的$c_1$与$c_2$也会被确定(约束相等)，因为银行的完全竞争，最优化函数与中央计划者相同,选择的投资组合,所以效用也相等；
$$\{\begin{array}{l}{c}_1^{BNK},c_2^{BNK}=c_1^{BST},c_2^{BST}\\ {\max }_{\theta }E{U}^{BNK}={\max }_{\theta }E{U}^{BST}\\ {\theta }^{BNK}={\theta }^{BST}\end{array}\Rightarrow E{U}^{BNK}=E{U}^{BST}$$
那么也会有$c_1^{BNK}<c_2^{BNK}$;因此，后期消费者没有动力伪装成前期消费者，在时刻 1 从银行提款。如果他这样做了，他只能在 2 时刻获得 $c_1^{BNK}$（而非 $c_2^{BNK}$）的消费量。他的效用会因此而降低。虽然他没有动力伪装，不代表他不会这样做，关键是下面的两个均衡…

银行制度的两个纳什均衡

现在，我们假设长期资产在时刻 1 清算，可以带来 r（$0<r\le 1$）单位的商品（这个假设并不会改变我们前面得到的所有结论）;这时，如果所有储户（不管是前期还是后期消费者）都在 1 时刻取款，则银行只能保证每位储户取得
$$r(1-{\theta }^{BNK})+{\theta }^{BNK}\le 1$$
如果 r 较小，使得
$$r(1-{\theta }^{BNK})+{\theta }^{BNK}\le C_1^{BNK}$$
则银行在 1 时刻就资不抵债，只能支付承诺数量的一部分。更加严重的是，银行的所有资产将在时刻 1 就耗尽，等到时刻 2 再提款的储户将什么也得不到。。因此，如果一个后期消费者认为其他所有人都会在时刻 1 提款，那么他的最优选择就是在时刻 1也到银行提款。

所以伪装成前期消费者这种看似不理性的行为，在这种情况下就变成投资者最优的选择；

总结银行制度的两个纳什均衡：

1. 正常均衡：所有后期消费者相信别的后期消费者都会等到 2 时刻去提款，所有后期消费者就会等到 2 时刻提款。这样，最优的资源配置可以达成。
2. 银行挤兑均衡：所有后期消费者相信别的后期消费者会抢在 1 时刻去提款。在这种信念之下，所有后期消费者都会在 1 时刻提款。此时发生银行挤兑。

而决定这两个均衡哪个会实现的，并不是某个消费者的私利，也不是什么外生冲击；而是后期消费者的信念(belief)。无论是“没有挤兑”的信念，还是“有挤兑”的信念，都会自我实现（self-fulfilling），即信念会将信念自己所预期的结果给生成出来。

解决方案：

• 存款保险(deposit insurance): 银行给不起，国家给(而这样就会导致银行出现道德风险moral hazard，进行激进的经营)

解决银行挤兑的根本办法：信任

银行为什么要起那么高的大厦，银行为什么要建在最繁荣的地方，银行门口为什么要放两个大石狮子，为什么进入银行需要高门槛，为什么银行总把专业放在嘴边？

• 就是为了彰显信任，信任才是银行做大做强的根本，只有银行做大了；前面模型中的N足够大，大数定律才能生效，银行的判断才能更加准确；信任才不会导致投资者“有挤兑”的信念；

为什么去中心化的大网无法取代银行

1. 银行的最本质功能是实现资金的期限转换，从而向外提供流动性（活期存款）和长期稳定的资金流。可以说，期限转换是银行最本质的功能（当然，这不是银行唯一的功能）。银行进行期限转换的关键在于将许多短期灵活的资金汇聚成了资金池（cash pool）。池中虽然随时有资金流入和流出，但却能够形成一个大体稳定的资金规模，从而能够从中获得长期稳定的资金流来支持长期投资。所以，银行的核心功能也可以说成是汇聚（pooling）——通过汇聚资金来实现短期资金向长期资金的转换。银行的很大一块利润就来自于短期资金和长期资金之间的利差。
2. 但在发挥期限转换这个功能的同时，银行也面临着期限错配（maturity mismatch）的风险，因而需要如存款保险这样的外部机制来确保其稳定性，消除银行挤兑的可能。不过，尽管期限错配有风险，也不能谈期限错配色变。期限错配和期限转换其实是同义语。为了发挥期限转换的功能，就必须会有期限错配的状况。事实上，所有银行都是期限错配的，这是银行发挥其核心功能的方式。
3. 银行必须要受到管制。像所有的保险一样，存款保险也会带来道德风险问题。银行有可能因为存款保险的存在而在经营活动中变得更加不审慎，比如极端地扩大期限错配的程度，又或者将资金投向过高风险的项目来博取高收益。为了减轻道德风险，金融监管者需要对银行进行管制，对银行的业务加以引导。而在管制的过程中，监管者和银行之间又存在着程度极高的信息不对称。
4. 并不是只有银行在做银行的本质业务。如影子银行，做着银行的业务，但却没有Deposit Insurance的金融中介。例如，有部分证券公司的资产管理公司就构建了规模庞大的资金池业务。从前面对银行的分析我们能看出，这些影子银行业务所存在的风险是巨大的。
5. 互联网金融不会消灭银行。互联网金融（internet finance）是近些年来的一个热词。互联网便利了信息的流动，从而形成了一张去中心的扁平网络。有人据此认为，互联网技术应用到了金融行业后，会便利资金供需双方的信息流动，从而让供需双方直接进行金融交易，让金融体系也成为一张无中心的扁平网络。就期限转换这种银行的本质功能来说，并不会因为互联网技术的应用而失去其用武之地。即使信息的流动因为互联网而变得非常便捷，流动性（灵活性）长期稳定资金供给之间的矛盾仍然会存在，仍然需要通过金融中介来构造资金池，发挥期限转换的功能。所以，互联网金融不会让金融中介消失。

曾几何时，我也是P2P的支持者，认为这样的制度设计难道不正是互联网技术发展给我们贫苦百姓带来的福音吗？ 银行家不过是为了守住自己私利而不愿承认罢了； 正所谓：“吾尝终日而思矣，不如须臾之所学也。“

正值诺贝尔经济学奖颁奖之际，2022的诺贝尔经济学奖颁给了这篇文章的两位作者；谨以此篇，重温经典，向两位金融学者表示祝贺！