两量子位的控制门（Controlled gate），简称C门，是量子计算中的关键元素。C门指的是由两个量子位组成的操作，其中一个量子位作为控制位，另一个量子位作为目标位。控制门通过控制位的状态来决定是否对目标位执行某个特定的量子操作。

1. 控制非门（CNOT门）

定义

控制非门（CNOT门）是最基础且最常见的两量子位控制门。CNOT门的作用是：如果控制位处于 $|1⟩$ 状态，则对目标位执行非门（X门），即将目标位的状态翻转（$|0⟩$ 变为 $|1⟩$，$|1⟩$ 变为 $|0⟩$）；如果控制位处于 $|0⟩$ 状态，则目标位保持不变。

矩阵表示

在标准计算基 { ∣ 00 ⟩ , ∣ 01 ⟩ , ∣ 10 ⟩ , ∣ 11 ⟩ } \{|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle\} {∣00⟩,∣01⟩,∣10⟩,∣11⟩} 上，CNOT门的矩阵表示为：

$$\text{CNOT}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

• 当控制位为 $|0⟩$ 时（对应前两个行列），目标位不变。
• 当控制位为 $|1⟩$ 时（对应后两个行列），目标位被翻转。

作用举例

• 输入态 $|00⟩$ 或 $|01⟩$：控制位为 $|0⟩$，目标位保持不变，因此输出仍然是 $|00⟩$ 或 $|01⟩$。
• 输入态 $|10⟩$ 或 $|11⟩$：控制位为 $|1⟩$，目标位翻转，因此输出分别为 $|11⟩$ 和 $|10⟩$。

2. 控制Z门（CZ门）

定义

控制Z门（CZ门）也是常用的两量子位门。当控制位处于 $|1⟩$ 状态时，对目标位应用Z门，即将目标位的相位翻转；当控制位为 $|0⟩$ 时，目标位保持不变。

矩阵表示

CZ门的矩阵表示为：

$$\text{CZ}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$

• 当控制位为 $|0⟩$ 时，目标位保持不变。
• 当控制位为 $|1⟩$ 时，目标位的 $|1⟩$ 分量翻转相位，即 $|1⟩$ 变为 $-|1⟩$。

作用举例

• 输入态 $|00⟩$ 或 $|01⟩$：输出态不变。
• 输入态 $|10⟩$：目标位不变，因此输出为 $|10⟩$。
• 输入态 $|11⟩$：目标位的 $|1⟩$ 状态翻转相位，因此输出为 $|1⟩$。

3. 控制任意门（CU门）

定义

控制任意门（CU门）表示控制位的状态决定是否对目标位应用某个单量子位操作U。U可以是任意的单量子位门，例如X门、Y门、H门（Hadamard门）、T门（$\pi /8$ 门）等。

矩阵表示

假设U门的矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}{u}_{00}& u_{01}\\ u_{10}& u_{11}\end{array}\right)$，那么对应的控制U门（CU门）的矩阵表示为：

$$\text{CU}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& u_{00}& u_{01}\\ 0& 0& u_{10}& u_{11}\end{array}\right)$$

• 当控制位为 $|0⟩$ 时，目标位保持不变。
• 当控制位为 $|1⟩$ 时，目标位应用U门。

作用举例

如果U门是Y门（绕Y轴旋转 $\pi$ 弧度），则CU门会在控制位为 $|1⟩$ 时将目标位的状态绕Y轴翻转 $\pi$ 弧度。

4. 多控制量子门

控制门还可以扩展到多控制位的情形。一个常见的例子是Toffoli门（CCNOT门），它是三量子位门，其中两个控制位控制一个目标位。这种扩展用于更复杂的量子计算操作。

总结

控制门在量子计算中起着至关重要的作用，它们允许量子比特之间的相互作用，进而实现量子计算的核心操作，如纠缠态的创建、量子算法中的条件分支等。最常见的CNOT门是创建量子纠缠态和实现基本量子算法的重要工具，而更复杂的控制门（如CZ门、CU门）在特定的量子计算任务中也非常有用。